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質問

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二次関数の問題です。
次の条件を満たす2時間数f(χ)=aχ^2+bχ+cを求めよ
(1) f(-1)=0 , f(3)=0で、最大値が3である。  やり方はどのようにしてやればいいでしょうか??

  • 質問者:OKINAWA
  • 質問日時:2012-03-24 16:57:11
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2次関数だからa≠0とする。(a=0も認める場合は、場合分けが必要。今回は省略)
f(-1)=0 より 0=a×(-1)^2+b×(-1)+c i.e. a-b+c=0 ・・・①
f(3)=0 より 0=a×3^2+b×3+c i.e. 9a+3b+c=0 ・・・②

最大値が3だから、f(χ)=a(χ-(b/2a))^2-b^2/4a+c のとき最大値はχ=b/2aの時で、
-b^2/4a+c=3 i.e. b^2=4a(c-3) ・・・③

②-①から 8a+4b=2a+b=0 i.e. 2a=-b ・・・④
④を③に代入すると b^2=-2b(c-3)
b=0のとき a=0 で前提に矛盾する。
b≠0のとき b=6-2c ・・・⑤ ⑤を①②に代入すると、①からa-6+2c+c=0
i.e. a+3c=6 ・・・①'
②から9a+18-6c+c=0 9a-5c=-18 ・・・②'
①'×9-②'から 32c=72 c=9/4 これを①'に代入すると a=-3/4 
cの値を⑤に代入すると b=3/2
ゆえに f(χ)=(-3/4)χ^2+(3/2)χ+9/4 ・・・(答)

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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

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