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質問

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自然数(m,n)
条件
p:mnは6で割り切れる
q:mnは2で割り切れる
r:mnは3で割り切れる
自然数の組(m,n)(1≦m≦30,1≦n≦30)の中で条件qの否定を満たす(m,n)の個数は。
条件qかつrの否定を満たす組(m,n)の個数は。

===補足===
これは普通に数えあげるんでしょうか。。
教えて下さい。

  • 質問者:まな
  • 質問日時:2009-11-23 23:11:17
  • 1

前半はすでに回答されている通りと思います。

>mn=6k+2となる為には、(m,n)の組み合わせは、
>(6i+1,6j+2)、(6i+2,6j+1)  (j,j:整数)

は、(3i+1,6j+2)でも成立するように思えたのですが、どうでしょうか。

書いておられるように条件が不明確な部分があるのですが、同様に
「mnは2で割り切れ、かつ3で割り切れない(m,n)の個数」と 解釈すると、

それぞれ30以下の自然数で、mとnが3で割り切れなく、mまたはnが2の倍数の個数を探す問題と解釈できます。

3で割り切れない数の個数は30-30/3=20
このなかで、mが2の倍数としたとき、その個数は偶数かつ6の倍数ではないから30/2-30/6=10

このときnは3で割り切れない数であれば良いから、10×20=200
nが2の倍数のときも同様に考えて200

ところがm、nいずれも2の倍数のときがダブルカウントされている(ベン図を描けば一目瞭然ですが省略)。
このときの個数は10×10=100
したがって、200+200-100=300 ・・・(答)

見落としや考え違いがあるかもしれませんが、その時はあしからず。よろしくどうぞ。

===補足===
ベスト回答に選んでいただき、ありがとうございます。

1つ補足ですが、私の解法は今回はうまくいきましたが、いつもこのようにして解けるわけではありません。

また、今回のように組合せの個数を出す問題は、数えていくのが基本です。
そして、シティーさんの方法は、類似の問題で応用することが出来ます。その考え方からいくと、シティーさんの解法が一般的ということも言えると思います。
念のため補足しておきます。

この回答の満足度
  
とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。
お礼コメント

補足拝見しました。
分かりました!
最後まで丁寧にありがとうございますm(__)m

並び替え:

ある程度の数え上げは必要だと思う。問題の書き方がちょっと不明確だと思うが、

「条件qの否定を満たす(m,n)の個数」



「mnは2で割り切れない(m,n)の個数 」

と解釈すると、mnが2で割り切れないのだから、mもnも2で割り切れない数、つまり奇数でなければならない。 1≦m≦30の範囲の奇数の個数は15個。1≦n≦30の範囲の奇数の個数も同様に15個。つまり、mnが奇数になる(m,n)の組の個数は15x15=225となる。


「条件qかつrの否定を満たす組(m,n)の個数」



「mnは2で割り切れ、かつ3で割り切れない(m,n)の個数」

と解釈すると、mnは2で割り切れる、つまり偶数で、3で割り切れないのだから、

6k+2 か 6k+4 (k:自然数)

と表せる事に成る。それで、mn=6k+2となる為には、(m,n)の組み合わせは、

(6i+1,6j+2)、(6i+2,6j+1)  (j,j:自然数)

で、1≦m,n≦30の範囲では、6i+1の数も6i+2の数も5個しかないので、

(6i+1,6j+2)は5x5=25組
(6i+2,6j+1)は5x5=25組

となる。次に、mn=6k+4となる為には、(m,n)の組み合わせは、

(6i+1,6j+4)、(6i+2,6j+2)、(6i+2,6j+1)

で、1≦m,n≦30の範囲では、6i+4の数は5個しかないので、

(6i+1,6j+4)は5x5=25組
(6i+2,6j+2)は5x5=25組
(6i+4,6j+1)は5x5=25組

となり、条件を満たす(m,n)の組み合わせは125となる。

===補足===
>>mn=6k+2となる為には、(m,n)の組み合わせは、
>>(6i+1,6j+2)、(6i+2,6j+1)  (j,j:整数)

>は、(3i+1,6j+2)でも成立するように思えたのですが、どうでしょうか。

全くその通り、6が素数ではなく合成数だったので、「数え上げ」が抜けていました。もう答えが出たので、どうでも良いかもしれませんが、抜け落ちた数え上げの部分を補足します。

考え方自体は変えずに、mnは2で割り切れる、つまり偶数で、3で割り切れないのだから、

6k+2 か 6k+4 (k:自然数)

と表せる事に成る。ここまでは、良し。それで、mn=6k+2となる為には、(m,n)の組み合わせは、

(6i+1,6j+2)、(6i+2,6j+1)、
(6i+2,6j+4)、(6i+4,6j+2)、
(6i+4,6j+5)、(6i+5,6j+4)、  (j,j:自然数)

の6通り。1≦m,n≦30の範囲では、6i+1、6i+2、6i+4、6i+5 (i:自然数)と表せる数は、それぞれ5個しかないので、

(6i+1,6j+2)は5x5=25組
(6i+2,6j+1)は5x5=25組
(6i+2,6j+4)は5x5=25組
(6i+4,6j+2)は5x5=25組
(6i+4,6j+5)は5x5=25組
(6i+5,6j+4)は5x5=25組

となる。次に、mn=6k+4となる為には、(m,n)の組み合わせは、

(6i+1,6j+4)、(6i+2,6j+2)、
(6i+2,6j+5)、(6i+4,6j+1)、
(6i+4,6j+4)、(6i+5,6j+2)、  (j,j:自然数)

の6通り。よって、

(6i+1,6j+4)は5x5=25組
(6i+2,6j+2)は5x5=25組
(6i+2,6j+5)は5x5=25組
(6i+4,6j+1)は5x5=25組
(6i+4,6j+4)は5x5=25組
(6i+5,6j+2)は5x5=25組

となる。条件を満たす(m,n)の組み合わせは25x12=300となる。

このように、「数え上げ」の作業は、結構見落としが生じ、大変なのである。

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参考になり、満足しました。回答ありがとうございました。
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なるほど。ありがとうございました。

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