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αsin(ωt)+βcos(ωt)をAsin(ωt+θ)に変換するやり方を教えてください

  • 質問者:彩琉
  • 質問日時:2008-09-24 15:06:52
  • 1

回答してくれたみんなへのお礼

皆さんありがとうございました

三角関数の合成公式の導き方ですね。

α*sin(x)+β*cos(x)において
α=r*cos(θ)
β=r*sin(θ)
となるrとαを求めてやれば、
αsin(x)+βcos(x) = r*[sin(x)cos(θ)+cos(x)sin(θ)] = rsin(x+θ)
と変形できます。
要は、加法定理を逆向きに使って無理やり変形するための
rとθを見つけてやれば良いのですが、

このようなrとθは、α=r*cos(θ)、β=r*sin(θ)としてますから
α^2+β^2=r^2*[cos(θ)^2+sin(θ)^2]=r^2 *1
より、
r=√(α^2+β^2)
また、
tan(θ)=sin(θ)/cos(θ)=β/α
となります。

  • 回答者:masu (質問から50分後)
  • 0
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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

並び替え:

αsin(ωt)+βcos(ωt)=A * ( (α/A)*sin(ωt)+(β/A)*cos(ωt))  ・・・(1)

A=root(αの2乗 +βの2乗 )

のように変形すると

(1)式はA*sin(ωt+θ)   ただしtanθ=β/ α

とまとめることができますね。懐かしい数学ですね。

  • 回答者:dog (質問から14分後)
  • 0
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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

公式Acosωt+Bsinωt=√(A*A+B*B)sin(ωt+θ)に当てはめれば変換できます。

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参考になり、満足しました。回答ありがとうございました。

√(α^2+β^2) sin( ωt+tan^-1(β/α) )
で解けます。
θ = tan^-1(β/α) ⇒ tanθ=β/α

  • 回答者:Sooda! くん (質問から4時間後)
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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

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