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△ABCにおいて3DA↑+4DB↑+5DC↑=0を満たす点Dがある。
二つの直線AD、BCの交点をEとすると、点Eとすると、点EはBCをア:イに内分する点であり、点DはAEをウ:エに内分する点である。このことから3つの三角形DAB、DBC、DCAの面積比は△DAB:△DBC:△DCA=オ:カ:キである。

オは5カは3キは4ですか?
物理的に考えると(物理は履修していないのですが)イコール0で釣り合っている静止状態と考えて、長さを重さに置き換えました。で、オカキは出そうです。アイウエはどう出したらよいでしょうか。
解説がなくて・・・。
よろしくお願いします。

  • 質問者:まな
  • 質問日時:2009-11-03 00:18:58
  • 0

物理と言うよりも高校レベルの数学で十分。ベクトルの外積の性質を使う。

3 DA↑+ 4 DB↑+ 5 DC↑= 0↑ ・・・①

なので、この①の両辺に DA↑を外積で掛ける。右からでも左からでも構わないので、取り合えず、右から。すると

DA↑× DA↑=0↑

なので、

4 DA↑× DB↑+ 5 DA↑× DC↑= 0↑

となり、

4 DA↑× DB↑= -5 DA↑× DC↑

となる。両辺の絶対値は、

4|DA↑× DB↑|= 5|DA↑× DC↑|

で、|DA↑× DB↑|/2 は△DABの面積、|DA↑× DC↑|/2 は△DCAの面積なので、

△DABの面積:△DCAの面積 = 5:4 ・・・②

同様に、①の両辺にDB↑を外積で掛けて、同様の計算を行えば、

△DABの面積:△DBCの面積 = 5:3 ・・・③

となり、②③より

△DABの面積:△DBCの面積:△DCAの面積 = 5:3:4=オ:カ:キ

となる。また、αAD↑= AE↑(αは0でない、ある実数)となっているから、

△ABEの面積=|AE↑× AB↑|/2 =|αAD↑× AB↑|/2
        =α|AD↑× AB↑|/2 =α・△DABの面積

△ACEの面積=|AE↑× AC↑|/2=|αAD↑× AC↑|/2
        =α|AD↑× AC↑|/2 =α・△DCAの面積

となる。よって、

△ABEの面積:△ACEの面積 =△DABの面積:△DCAの面積 = 5:3

となるが、△ABEと△ACEは、それぞれ底辺がBE、ECとする同じ高さの三角形なので、面積の比から、

BE:EC =5:3=ア:イ

となる。最後の「ウ:エ」で有るが、△ABCと△DBCは、同じ底辺BCの高さの異なる三角形で、面積の比は、

△ABCの面積:△DBCの面積 = 12:3

となる。したかって、点Aから底辺BCに下した垂線の長さと点Dから底辺BCに下した垂線の長さの比も12:3になる。相似の性質を利用すれば(説明省略。補助線や交点を追加して考えてね!)、

AE:DE = 12:3

ゆえに、

AD:DE = 9:3=ウ:エ

となる。

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