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cos2x-√3sin2x=2(1/2cos2x-√3/2sin2x)
までいいのですが
=2cos(2x+π/3)となるのが分かりません。
初歩的なことかもしれませんが、教えてください。
ベクトルの内積?で解けるようですが分かりません。途中式をお願いします。

  • 質問者:まな
  • 質問日時:2009-11-22 18:45:30
  • 0

既に、回答されている加法定理で良いのだけど・・・

a↑=(cos 2x、sin 2x)
b↑=(1/2、-√3/2)=(cos (-π/3)、sin(-π/3))

とベクトル表現すれば、内積の定義から

<a↑,b↑>=(1/2)・cos 2x +(-√3/2)・sin 2x
         =(1/2)・cos 2x -(√3/2)・sin 2x

(ここで、<x,y>はxとyの内積)

一方、内積の公式

<a↑,b↑>=|a↑|・|b↑|cosθ

(ここで、|x|はベクトル x の絶対値、θは2つのベクトルのなす角度)

と、|a↑|=|b↑|=1、θ=2x-(-π/3)=2x+π/3であるから、

<a↑,b↑>=cos(2x+π/3)

したがって、

(1/2)・cos 2x -(√3/2)・sin 2x = cos(2x+π/3)

となる。

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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。
お礼コメント

ベクトルのほうを示していただいたのでベスト回答にさせていただきます。
ありがとうございました。

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解法としてはすでに回答されている通りですが、内積を使ったときの考え方は以下のようになります。

原点を中心とした単位円上の任意の点をA(cosπ/3、sin(-π/3))となるようにとると、2x回転させたときの座標はB(cos(2x-π/3)、sin(2x-π/3))と表現することができます。
念のためですが、Aは(1,0)から-π/3回転させたときの座標となります。

単位円上とっているので、ベクトルをとったときベクトルAとベクトルBの大きさはそれぞれ1となります。

ここで、AとBの内積をとると
cosπ/3cos(2x-π/3)+sin(-π/3)sin(2x-π/3)
=cosπ/3cos(2x-π/3)-sin(π/3)sin(2x-π/3)・・・(1)となります。

これは三角関数の加法定理から
cos(2x+π/3)と式を変形することができます。
ところが、cosπ/3=1/2、sin(π/3)=√3/2となり、(1)は1/2cos2x-√3/2sin2xと表現できるのでcos(2x+π/3)=1/2cos2x-√3/2sin2x
したがって、与式=2(1/2cos2x-√3/2sin2x)=2cos(2x+π/3) と変形できます。

===補足===
> a↑=(cos 2x、sin 2x)
> b↑=(1/2、-√3/2)=(cos (-π/3)、sin(-π/3))

このようにベクトルの座標をとれば良かったのですね。
自分の座標の取り方だと加法定理を使わなくてはならず、どうしたものかと思っていました。大変参考になりました。

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参考になり、満足しました。回答ありがとうございました。
お礼コメント

ありがとうございました。

加法定理 cos(a+b)=cosacosb-sinasinb を使用します。
2(1/2cos2x-√3/2sin2x)で1/2はcos(π/3)で√3/2はsin(π/3)ですから
2(1/2cos2x-√3/2sin2x)=2(cos2xcos(π/3)-sin2xsin(π/3))
上記加法定理のa=2x b=π/3とおくと
2(cos2xcos(π/3)-sin2xsin(π/3))=2cos(2x+π/3) となります。

  • 回答者:匿名ソーダ (質問から55分後)
  • 1
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参考になり、満足しました。回答ありがとうございました。
お礼コメント

加法定理ですね。
サインにしか直せないと思っていました。
ありがとうございました。

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