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質問

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ベクトルの問題で質問です
四面体OABCは次の2つの条件
(ⅰ)OA⊥BC、OB⊥AC、OC⊥AB
(ⅱ)4つの面の面積が同じ
を満たしています
このときこの四面体は正四面体であることを示せ

という問題です。
三角形の面積公式(ベクトル)?_をつかうそうなんですが・・・・

解説をお願いします!

  • 質問者:MIな
  • 質問日時:2009-12-13 23:50:25
  • 0

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これも宿題なのかな? それはそれとして、条件「(ⅰ)OA⊥BC、OB⊥AC、OC⊥AB」より、ベクトルの内積は、

OA↑・BC↑=OB↑・AC↑=OC↑・AB↑=0

一方、

OA↑・BC↑=OA↑・(OB↑-OC↑)=OA↑・OB↑-OA↑・OC↑

となるので、

OA↑・OB↑=OA↑・OC↑となる。同様に、OB↑・OC↑=OB↑・OA↑、OC↑・OA↑=OC↑・OB↑も言えるので、整理して、

OA↑・OB↑=OB↑・OC↑=OC↑・OA↑

が言える。∠AOB=α、∠BOC=β、∠COA=γと置けば、内積の公式より、

|OA|・|OB|cos α=|OB|・|OC|cos β=|OC|・|OA|cos γ ・・・①

となる。また、

△OABの面積=(|OA|・|OB|sin α)/2
△OBCの面積=(|OB|・|OC|sin β)/2
△OCAの面積=(|OC|・|OA|sin γ)/2

条件「(ⅱ)4つの面の面積が同じ 」を使って整理すると

|OA|・|OB|sin α=|OB|・|OC|sin β=|OC|・|OA|sin γ ・・・②

となる。ここで、x、y>0で、x cos α=y cos β、x sin α=y sin β ならば、x=yであるから(証明は任せます)、①②より

|OA|・|OB|=|OB|・|OC|=|OC|・|OA|

となる。これから、

|OA|=|OB|=|OC|

となるので、△OAB、△OBC、△OCAは、面積の等しい辺 OA、OB、OC が等しい二等辺三角形となる。辺 AB、BC, CA は、それぞれの二等辺三角形の底辺なので、

|AB|=|BC|=|CD|

つまり、△ABCは正三角形という事になる。ここで再び条件「(ⅱ)4つの面の面積が同じ 」より、△ABCの面積は二等辺三角形 △OABの面積と等しく、その底辺を共有するので、

△ABC≡△OAB

となる。同様に、△ABC≡△OAB≡△OBC≡△OCA も言えるので、すべての面は面積の等しい正三角形、この四面体は正四面体と言る。

適当に、証明を端折った所は、補って、完成させてください。

この回答の満足度
  
とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。
お礼コメント

ありがとうございました
よくわかりましたw
感謝しています

とてもむずかしい。忘れました。

  • 回答者:d (質問から24分後)
  • 2
この回答の満足度
  
回答ありがとうございました。

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