住信SBIネット銀行がお勧めです。
・セブン銀行では、24時間預け入れ・引き出しがいつでも無料
・ゆうちょ銀行、イーネット、ローソンATMで預け入れがいつでも無料、引き出しは、これらのATM合わせて月5回まで無料
・振込みが他行宛が月3回まで無料
・SBI証券口座を持っていると、普通預金利息が0.45%になり、大手行の1年ものの定期と同じくらいの利息が付く
・セキュリティがしっかりしている。キャッシュカードの裏面が、口座ごとに異なる乱数表になっていて、ネット上の取引で乱数表の数字を求められる。乱数表カードが別の銀行があるが、キャッシュカードと一体なので便利
セブンイレブンには必ずといっていいほど置いてあるセブン銀行のATMが無料だし、振込みが月3回無料も他行にないサービスで、ネット銀行では最強だと思います。