流体力学を学んでいて、こんな問題にぶつかりました。『温度が一定であるとして地表からの高さと気圧の関係を求めよ。但し、大気...|質問・相談が会員登録不要のQ&AサイトSooda!(ソーダ)

流体力学なら任せて。たぶん。。。笑い。

直方体の箱を考えて見ましょうか。

上面と下面の面積は同じで、Ｓとしましょう。
座標は、下面の高度を基準とし、下面の高度をｚとしましょう。
直方体の箱の高さはΔｚとしましょう。
そうすると、上面の高度は、下面よりΔｚだけ高いので、上面の高度は、ｚ＋Δｚです。

同様に、下面の大気圧をｐとしましょう。
そうすると、上面の高度は、下面よりΔｐだけ高いので、上面の高度は、ｐ＋Δｐです。

全て上向きを正に取っているから上に上昇するとΔ分増えます。全部逆でも良いです。

さて、下面に、下から上に掛かる力は、ｐ×Ｓです。
上面に、上から掛かる力は、(ｐ＋Δｐ)×Ｓです。

この力の不均衡は、直方体内にある大気の重力に因っています。
直方体内にある大気の体積は、Δｚ×Ｓです。その下向き重力はρ(ｚ)ｇ×Δｚ×Ｓです。

つまり、上向きの力は、ｐ×Ｓのみ。
下向きの力は、大気圧＋大気の重力で、(ｐ＋Δｐ)×Ｓ＋ρ(ｚ)ｇ×Δｚ×Ｓです。

さて、これまでの準備をつかって、つりあいの式を立てましょうか。
右辺を上向き、左辺を下向きとしましょう。
(ｐ＋Δｐ)×Ｓ＋ρ(ｚ)ｇ×Δｚ×Ｓ＝ｐ×Ｓ

両辺をＳで割って、整理すると
Δｐ＋ρ(ｚ)ｇ×Δｚ＝0

両辺をΔｚで割って、移行します。
Δｐ/Δｚ=-ρ(ｚ)ｇ

Δでは、かっこ悪いので、数学や物理では全微分のdに置き換えます。
dｐ/dｚ=-ρ(ｚ)ｇ

これでお望みの式が出ました。これでいかがでしょうか。
つまり、重力も含めた、上面と下面のつりあいの式だったのです。
更に質問があればどうぞ。

===補足===
僕が回答を書いている間に、他の方が書かれていましたね。

失礼しました。

回答者：流体力学ならなんとか (質問から6時間後)
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