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質問

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流体力学を学んでいて、こんな問題にぶつかりました。

『温度が一定であるとして地表からの高さと気圧の関係を求めよ。但し、大気は理想気体としてよい』
↓解答の書きはじめがこうです↓
「地表からの高さzの大気圧をp(z)、大気の密度をρ(z)とすると
dp(z)/dz=−ρ(z)g
となる」

…え?どうして大気圧の高さ微分が密度と重力加速度の積なの!?

どなたか教えて下さいませんか?

  • 質問者:モバイルメール
  • 質問日時:2009-02-11 14:56:40
  • 0

流体力学なら任せて。たぶん。。。笑い。

直方体の箱を考えて見ましょうか。

上面と下面の面積は同じで、Sとしましょう。
座標は、下面の高度を基準とし、下面の高度をzとしましょう。
直方体の箱の高さはΔzとしましょう。
そうすると、上面の高度は、下面よりΔzだけ高いので、上面の高度は、z+Δzです。

同様に、下面の大気圧をpとしましょう。
そうすると、上面の高度は、下面よりΔpだけ高いので、上面の高度は、p+Δpです。

全て上向きを正に取っているから上に上昇するとΔ分増えます。全部逆でも良いです。

さて、下面に、下から上に掛かる力は、p×Sです。
上面に、上から掛かる力は、(p+Δp)×Sです。

この力の不均衡は、直方体内にある大気の重力に因っています。
直方体内にある大気の体積は、Δz×Sです。その下向き重力はρ(z)g×Δz×Sです。

つまり、上向きの力は、p×Sのみ。
下向きの力は、大気圧+大気の重力で、(p+Δp)×S+ρ(z)g×Δz×Sです。

さて、これまでの準備をつかって、つりあいの式を立てましょうか。
右辺を上向き、左辺を下向きとしましょう。
(p+Δp)×S+ρ(z)g×Δz×S=p×S

両辺をSで割って、整理すると
Δp+ρ(z)g×Δz=0

両辺をΔzで割って、移行します。
Δp/Δz=-ρ(z)g

Δでは、かっこ悪いので、数学や物理では全微分のdに置き換えます。
dp/dz=-ρ(z)g

これでお望みの式が出ました。これでいかがでしょうか。
つまり、重力も含めた、上面と下面のつりあいの式だったのです。
更に質問があればどうぞ。

===補足===
僕が回答を書いている間に、他の方が書かれていましたね。

失礼しました。

  • 回答者:流体力学ならなんとか (質問から6時間後)
  • 1
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参考になりました。回答ありがとうございました。
お礼コメント

詳しい回答をありがとうございました。
でもちょっと僕には難しかったです(携帯だから見辛いことも原因かと)。
折角の詳しい説明を、理解しきれなくてごめんなさい。

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やらせ投稿警備隊です。

関心のメールは、最近はやっています。
つまり、最初の回答者と同一人物のやらせです。回答件数を埋めるため。

こんなのばっかり。嫌になります。

  • 回答者:警備隊巡回中 (質問から19時間後)
  • 0
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ほぉんとう。関心関心。

  • 回答者:えらいね~ (質問から5時間後)
  • 1
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なあるほどねえ。感心しますね絵。

  • 回答者:匿名希望 (質問から2時間後)
  • 2
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回答ありがとうございました。
お礼コメント

あの。携帯からサイトを利用しているので5件の回答を頂くと受け付けを終了してしまいます。ただの感心の投稿はやめていただけますか?

微小な高さdzおよび断面積Aを持つ流体柱を思い浮かべてください(図が描けたらよいのですが・・・)
重力場で静止しているとき、力のつりあいより

pA-{p+(dp/dz)dz}A-ρgAdz=0

pAは、流体柱の下から流体柱にかかる力
{p+(dp/dz)dz}Aは、流体柱の上から流体柱にかかる力
ρgAdzは流体柱の重さです

これを変形すると、dp(z)/dz=−ρ(z)g

となるわけです

これは、重力場にある静止流体での力のつりあいの話です
なので、まだ流体力学の入口に過ぎません。
大変でしょうけど、勉強がんばってください

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