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自然数Nを9進法で表わすとabc(9)、7進法で表わすとcba(7)となる。この自然数Nを10進法で表わしたときの各位の数字の和はいくつか。

9進法と7進法を10進数にすると81a+9b+c=a+7b+49cとなるところまでは分かるのですが、ここからどうやって解けばよいかわかりません。
この後の解き方を教えてください。
よろしくお願いします。

  • 質問者:tomo
  • 質問日時:2010-09-17 08:49:57
  • 0

80a+2b = 48c
40a+b=24c

にして、24の倍数となるようなa,bの組み合わせを考える。
で、たぶん3通りできるけど、bは7進法だから、他の2つは消去できるから、
残りの1通り、答えになる。。。あとは10進法に置き換えて、足せば良い・・・

===補足===
7進法だから、a、b、cは6以下の数字・・・

  • 回答者:hiro (質問から3時間後)
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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

並び替え:

7進法でも成立することを考えてa、b、cのうちa,cは1~6の自然数。bは0~6の整数。

ご質問中に既にあったように条件を数式で表現すると81a+9b+c=a+7b+49c
変形すると48c=80a+2b
b=24c-40a=8×(3c-5a)
bは0~6の整数だから、bが8の倍数となるためには(3c-5a)=0すなわちb=0

b=0のとき
3c-5a=0 3と5は互いに素で、1桁の自然数だから答は1通り

(以下中略)

14・・・(答)
かなり力任せの解き方ですがあしからず。

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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

教科書通りの解法かどうかは判りませんが・・・

 81a+9b+c = a+7b+49c
を整理して
 40a+b-24c=0
両辺をを8で割って、(← これが ”ミソ”)
 5a+(b/8)-3c=0  -- 式1)
ここで、この式の意味する所を考える。

(a,b,c)はそれぞれ整数でもあり、9進数/7進数が3桁表示させるには a≠0、c≠0 でもあるのを考慮して
 1≦a≦6、0≦b≦6、1≦c≦6  a,b,cは整数

式1)で、「5a」 は整数、「-3c」 も整数なので、「(b/8)」は整数でなければならない。
条件 0≦b≦6 で、これを満たすのは、b=0 しかない。
よって、5a=3c を 満たす上記条件の整数の組合せを求めればよい。

以下、省略します。
(後は、判ると思いますので・・・自然数Nは、N=248 になりますので各位の和は・・・)

  • 回答者:maru (質問から3時間後)
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a=3 b=0 c=5
で10進数では248
よって各位の和は14

になりませんか?

以下、スマートな解答ではないかもしれませんが、
式を整理すると
b=24c-40a
になります。
7進法で表記できるということは、
a、b、cは0~6の数ですので、
3c>=5aとなります。
b=0以外では成立しなくなります。
b=0とすると
5a=3c
になるので、これを満たす値は
a=3、c=5
となるのではないでしょうか。

  • 回答者:匿名 (質問から3時間後)
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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

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