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数学の問題です。お願いします。

2次方程式、z^2+(a+bi)z+(e+di)=0が少なくとも1つの実数解をもつための必要十分条件を求めよ。ただし、a、b、c、dは実数とする。

このような問題です。実部と虚部に分けて計算し、b=0のときと、b=0でないときに分けるというのは、わかりました。その後、それぞれどうやって計算したら良いのかと、その時の答えを教えて下さい。

  • 質問者:ゆか
  • 質問日時:2008-11-27 17:50:31
  • 0

回答してくれたみんなへのお礼

助かりました☆ありがとうございました。

与方程式を変形して
( Z^2+az+e)+(bz+d)i= 0
従って 与方程式が 少なくとも1つの実数解をもつための必要十分条件は
m^2+am+e=0 ……① かつ bm+d = 0 ……② を満たす実数 mが存在することです。
②を見るとmにbが掛かっているので ご指摘のとおり
b=0のときと、b=0でないときに分けることになります。

まず、b=0のとき
 ②は d = 0 となります。
 そして、m^2+am+e=0 ……① をmについての実数係数の二次方程式と見て
 これが 実数解を持つことが条件になります。
 つまり判別式 a^2-4e≧0

次に b≠0のとき
 ②は m=-d/b と同値です。
 従って この m=-d/bが ①を満たすことが条件になります。
 つまり (-d/b)^2+a(-d/b)+e=0
分母を払って d^2-abd+eb^2=0 となります。

変形はすべて同値変形でしたので、以上のことから 求める必要十分条件は
 〔 b=d=0 かつ a^2-4e≧0〕または 〔b≠0 かつ d^2-abd+eb^2=0〕
とわかります。


タイプミスなどありましたら すみません。

  • 回答者:タイプに疲れました (質問から4時間後)
  • 0
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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

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まず、単純に、解の公式に当てはめてみて、
( -(a+bi)±√(a+bi)^2-4(e+di))/2
そこでルートの中身を計算すると
a^2+2abi-b^2-4(e+d)i=(a^2-b^2-4e)+(2ab-4d)i
となります。ここで、b=0のときとb=0でないときをかんがえるのですが、
b=0のとき、ルートの中身は負ではいけません。なので、
(a^2-b^2-4e)≧0
2ab-4d=0
であることが条件です。これからd=0、e>0のときは、-2√e≦a≦2√e
であることがわかります。

b≠0のとき、ルートの答えがk±bi(kは任意の実数)であることが条件となります。
なので、ルートの中身=k^2+2kbi-b^2かk^2-2kbi-b^2でなければなりません。
ここで、a^2-b^2-4e=k^2-b^2は確定している。
よって、k^2=a^2-4eである。
なので、条件として-2√e≦a≦2√eが必要。
k=±√a^2-4eとすると2ab-4d=2kbの場合
ab-2d=(±√a^2-4e)bとなり
a-2d/b=±√a^2-4eである。あとは(a-2d/b)^2=a^2-4eなので、
-4ad/b+4d^2/b^2=-4e
e=ad/b+d^2/b^2
これは2ab-4d=-2kbでも同様

よって必要十分条件は
b=0のとき、d=0、
e>0のとき、-2√e≦a≦2√e、e≦0のとき、aは任意の数

b≠0のとき、e=ad/b+d^2/b^2、dは任意の数
e>0のとき、-2√e≦a≦2√e、e≦0のとき、aは任意の数

となる・・・はず。どっかで計算間違いしてなければ。
ごめんなさい。書いたり消したりしてます。

  • 回答者:わからん (質問から55分後)
  • 0
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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

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