元ホテル従業員です。中堅のホテルですがフロント係をしておりました。
結論から申しますと、尋ねられてから答えていただければ結構です。
契約企業や常連客などの固定のお客様でしたら、ホテル側が「○○ホテルです」と出た直後に名乗っていただくと、最小限の事項の確認だけで済みますので、とてもスムーズに事が運び短時間で予約ができます。
そうでない場合は、係の者が尋ねた事柄を順に答えていただいたほうが、スムーズに事が運びます。
余談ですが、ホテル側から尋ねることは、
・チェックイン(ホテル到着)の日時、宿泊日数(何泊か)、人数
・部屋の種類(シングルやダブル、ツインなど) ←呼称はホテルによって異なります。
・お客様名、電話番号(自宅と携帯の両方あると最良です)
が主です。
電話内容をメモに取って確認していただきたいのは、
・料金、サービス料、消費税を含めた総額
・(車で行く場合)駐車場の有無、駐車料金
・予約受付担当者名
・チェックアウト時間(朝10時が多いです。それまでなら何時に退出して構いません)です。
このほかに食事付きか、館内レストランの有無を必要であればお尋ねください。
そして、お出かけの際はホテルの名称と所在地、電話番号のメモも合わせて持っておくと、ホテルにたどり着けない時に役立ちます。