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微分方程式

(dx(t)/dt)+3x(t)=6u(t)-6u(t-5)  (ただし、x(0)=0とする)

の答えはどうなるのでしょうか?
u(t)というのは、tが0未満の時0となり、0以上の時1となる関数です

自分でも解いてみたのですが、間違っているみたいなので教えてもらいたいです

ちなみに、自分の答えはこうなりました

x(t)=2u(t)-2u(t-5)-2e^(-3t) u(t)+2e^(-3(t-5)) u(t-5)

どのように解けばよいのか教えてくれると助かります

  • 質問者:彩琉
  • 質問日時:2009-06-13 16:18:56
  • 0

解の x(t) が連続関数ならば、

x(t) = (u(t) - u(t-5))(2 - 2 exp(-3t))

だと思う。 問題の微分方程式は、

t ≺ 0、5 ≤ t の時、

dx(t)/dt + 3x(t) = 0 ・・・ ①

0 ≤ t ≺ 5 の時

dx(t)/dt + 3x(t) = 6 ・・・ ②

となり、どちらも1階線形微分方程式である。 先に②の解を求めると、

x(t) = 2 + C・exp(-3t)

となる。x(0) = 0 と言う初期条件が有るので、C = -2 となり、②の解は、

x(t) = 2 - 2・exp(-3t) ・・・③

となる。さて、①の解であるが、

x(t) = C´・exp(-3t)

で、x(t)が連続関数とすれば、t → 0の時、x(t)→0 となるから、C´= 0 である。よって、①の解は、

x(t) = 0 ・・・④

である。③は、t ≺ 0、5 ≤ t の時の解で、④は、t ≺ 0、5 ≤ t の時の解である。よって、t ≺ 0、5 ≤ t の時に0、t ≺ 0、5 ≤ t の時に1となる関数 u(t) - u(t-5) を、③ の右辺に掛けた形で、


x(t) = (u(t) - u(t-5))(2 - 2・exp(-3t))

と表わす事が出来る。

===補足===
計算ミスしてました。

t = 5 連続性を考慮していませんでした。 t → 5 では③より、

x(t) → 2 - 2・exp(-3・5)

一方、①の 5 ≤ t の解を、 x(t) = C´´・exp(-3t) とすれば、

x(5) = C´´・exp(-3・5)

であるから、C´´= 2・exp(3・5) - 2 となるので、①の 5 ≤ t の解は

x(t) = (2・exp(3・5) - 2)・exp(-3t) = 2・exp(-3(t-5)) - 2・exp(-3t)

となる。したがって、5 ≤ t のこの解を加えて、

x(t) = (u(t) - u(t-5))(2 - 2・exp(-3t)) + u(t-5)(2・exp(-3(t-5)) - 2・exp(-3t))
      
   = 2・u(t) - 2・u(t-5) - 2・exp(-3t)・u(t) + 2・exp(-3(t-5))・u(t-5)

となります。つまり、あなたの答えは、間違っていないと思います。

この回答の満足度
  
とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。
お礼コメント

すごくわかりやすい説明ありがとうございます。
自分の答えは間違ってないんですね。
回答していただいてありがとうございました。
補足までしていただいてすごくうれしいです。

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