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子どもの頃、円周率について、「どうやって出すのか」考えたことがあります。そうして「355÷113」だと近い数字が出ると気づきました。ところが、高校になって「円周率は無理数だから割り算では出せない」と習いました。そこで質問です。円周率を出すための演算の式は存在しないのですか?もしあるとすればどのような式なのですか?教えてください。

  • 質問者:パイ
  • 質問日時:2009-06-19 10:08:20
  • 0

回答してくれたみんなへのお礼

みなさんのご意見を反芻していました。参考になる貴重なご意見、ありがとうございました。

既にリンク先が紹介されていますが、自分のような初学者にとって論理的には多少省略されているように感じたので、自分なりに初等数学+αで考えてみました。

まず、y=arctan(x) (y=tanxの逆関数)を考えます。
これを0の付近でテイラー展開(マクローリン展開)すると、n乗を「^n」で表すとすると
arctan(x)=x-x^3/3+x^5/5-x^7/x・・・・・=Σ[{(-1)^(n-1)}*x^(2n-1)]/(2n-1)・・・(0)

ここで、x-x^3/3+x^5/5-x^7/x・・・・・
=x*{1-(x^2)/3}+x^5*{1/5-(1/7)*x^2}+x^9*{1/9-(1/11)*x^2}・・・
=Σ{x^(4n-3)}*{1/(4n-3)-x^2/(4n-1)} (nは1から∞まで)と書くことが出来ます。
・・・(1)
また、xだけ別項として考えると、x-x^3/3+x^5/5-x^7/x・・・・・
=x-x^3*{1/3-(1/5)*x^2}-x^7*{1/7-(1/9)*x^2}・・・
=x-Σ{x^(4n-1)}*{1/(4n-1)-x^2/(4n+1)}(nは1から∞まで)と書くことが出来ます・・・(2)
今、n→∞で計算するのではなく、近似値を求めるために有限でうち切るとすると、
(1) < arctanx <(2) となります。

ここで、x=1/√3 のときy=arctan(x)はπ/6  であることを利用すると(x=1の時、y=arctan(x)はπ/4、すなわちグレゴリー級数となるのですが、収束が遅いためx=√3の時の関係を利用します。)
(1)(x=1/√3) <π/6 <(2) (x=1/√3) となります。
(1)と(2)にx=1/√3を代入して第3項まで計算すると、0.523551<π/6<0.523767
となるので、3.141309<π<3.142605となります(反則ですが、EXCELに計算式を入れて計算しました)。
ここから、はさみうちの定理よりπは3.141より大きく3.1426未満であることがわかります。πは無理数なので小数点表記で厳密な表現は不可能です。
計算の精度を上げたい時は第3項まで計算したところの項数を上げれば計算制度が良くなります。
かなり論理的に粗いような気もしますが、どうでしょうか。

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お礼コメント

詳細な説明、ありがとうございます。今一度、反芻してみます。

並び替え:

前の人が、示しているリンクに書かれている式で良いと思う。

そもそも、円周率 π は無理数なので、有理数の有限回の四則演算では計算できない。式で表すとしても、無限級数で表現するか超越関数(対数関数、指数関数、三角関数など)を含む式でしか表わせない。

なお、近似値で良いのならば、半径1の円に内接する正n角形の辺の和 2n・sin(360/2n) が、n → ∞ の時に円周 2πに限りなく近づくので、

n・sin(360/2n) = n・sin(180/n)

を十分大きな n に対して、計算すれば πの近似値が得られると思う。n が10万ぐらいなら、結構、πに近い数になるのではないかな?

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ここは参考になるでしょうか?
ja0hxv.calico.jp/pai/pietc.html

  • 回答者:匿名希望 (質問から56分後)
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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

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