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模試でやった問題がまったく分かりません。
分かりやすく教えてください。

関数y=2sin（x+π/6）ー2cosx‥‥1⃣がある。

1. 1⃣をy=r sin（xーα）の形に変形するとき、定数r,αの値をそれぞれ求めよ。ただし、r>0,0<α<π/2とする。

2. 0<=x<=πのとき、不等式y<√2を満たすxの値の範囲。

お願いします。

  • 質問者：すん
  • 質問日時：2012-10-21 02:49:56
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回答

まず、前提として、三角関数の合成と、加法定理を学んでいるとしますね？

sin（x+π/6）=sinxcosπ/6+cosxsinπ/6
と展開できます。
そして、整理すると・・・
√３/2sinx+1/2cosx
になるので、
y=√3sinx－cosx
っとなって、
これを合成します。
すると、（合成は教科書等で確認してください。）
y=2sin(x-π/6)・・・②
ですね。。

0≦x≦πですかね・・・③
すると、②式の(x-π/6)の範囲を考えます。
③式の各辺からπ/6引いて、
-π/6≦(x-π/6)≦5π/6・・・④
y＜√2だから、
sin(x-π/6)＜√2/2
ですね。。。
これを満たすｘの範囲を求めたいわけですが、
√2/2って見覚えのある値でわ？？・・・
もしかしたら、そうでもないかもですが・・・
まあ、45度の正弦・余弦の値なんですね。。
正弦はsin。余弦はcosって事です。
だから、
(x-π/6)を単位円で考えて・・・
（省略します。。）
0≦ｘ＜5/12π、かつ、3/4π＜x≦π
っだと思います。
等号に関してはちょっと疑問に思うかもしれないので、説明すると、、
ｙは√2になってはいけないので、与式が√2にならないような、ｘを考えました。
要するに、範囲の両端の等号には気をつけて！！ってことですね。。

学校の定期試験か、センター模試だと思われますが、
頑張ってください。

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お礼コメント

ありがとうございます

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