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質問

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ある二つの数を加えたら10になり、掛けたら40になる。
つまり x+y=10,x×y=40のxとyの答えは?
虚数を使って二次方程式の解から答えを導くことは大体は解るのですがもう一つはっきりと理解できていません。どなたか分かり易く教えてください。

回答してくれたみんなへのお礼

年を重ねる毎に普段使わない虚数なんて記憶の片隅に追いやられてすぐには理解することが出来なくなりました。解答は出してはいたのですが果たして合っているのか自信がなかったのでお聞きした次第です。
解を求めるプロセスが少しずつ異なっていましたがウマシカな私の自信を取り戻させてくれたのんのさんにベストを差し上げます。
つまらない質問にお付き合いいただいたお礼に全員に5ポイント差し上げます。
皆様ありがとうございました。

xとyを 二つの解に持つ tについての二次方程式は
(t-x)(t-y)=0
展開して
t^2-(x+y)t+xy=0
となります。
これに x+y=10と xy=40 を代入して
t^2-10t+40=0
二次方程式の解の公式から
t=5+√15i,5-√15i
となります。
これがxとyの値ですね。
一方がx,もう一方がyなので
解は二組考えられることになりますね。

  • 回答者:のんの (質問から43分後)
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x+y=10 xy=40 を解にもつx,yは、tの2次方程式を使って
t^2-10t+40=0 と書けます(解と係数の関係の逆からの考え方)
よってこのtの値を見つければ、これがx,yの値となります。
t=5±√15i だから
ある数は、5-√15iと5+√15i です。

  • 回答者:匿名希望 (質問から3時間後)
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x+y=10から
x=10-y

xy=40ならば
x(10-x)=40
x²-10x+40=0

ax²+bx+c=0のとき
二次方程式の根の公式

x={-b±√(b²-4ac)}/2a

に当てはめれば

x=5±√(15i),y=5∓√(15i)

ただし、i は虚数単位

※√の「ひさし」を延ばして表記できないので
 上記のカッコの中の数式は全て√の中に入るとみてください。

  • 回答者:秋山人 (質問から2時間後)
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二次方程式の解と係数の関係からtを未知数として、係数をa,b,cとしたとき、すなわち
at^2+bt+c=0…(1)の方程式において、
2つの解をx,yとすると、
x+y=-b/a=10、
xy=c/a=40であらわされるから、
(1)の二次方程式を変形してt^2-10t+40=0のtの解が求めるxとyの組になります。
ここで判別式をDとするとD/4=5^2-40=-15<0となり、解は虚数となります。

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x・y=40 なので x も y も 0出ないので、x + y = 10 に y = 40/x を代入して、両辺に xを掛ければ、x^2-10x+40=0 これを、2次方程式の解の公式を普通に使えば、x と y は、5+√15 i と5-√15 i となると思うけど、これ以上、何が理解できないと言うのでしょうか? もう少し不明点を明確に説明して欲しい。

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y=10-x
x(1-x)=40
-x2+X=40
x2-x+40=0

これで、二次方程式の解に放り込めば良いのではありませんか。

  • 回答者:Sooda! くん (質問から29分後)
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二次方程式の解の公式 で、b^2-4ac が10*10-4*40=-60
で負の数だから、虚数が必要。

じゃ、だめ

  • 回答者:匿名希望 (質問から28分後)
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x+y=10ですから、両方からyを引きます。するとy=CFです。x×y=40にy=10-xを代入します。x×(10-x)=40となります。これを展開すると10x-x乗=40です、もうビールの限界です。すんません。

  • 回答者:匿名 (質問から18分後)
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