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質問

終了

確率（期待値）の問題です。

１から２ｎまでの相異なる自然数が書かれた２ｎ個のボールが入った袋からよくかきまぜて１個のボールを取り出す。取り出したボールに書かれた数Ｘを見て、それを得点として終えるか、ボールを戻しよくかき混ぜもう一度ボールを取り出すか決める事ができる。もう一度取り出すときには、後で取り出したボールに書かれた数Ｙが得点となる。
これをＸ≧ｋ＋１なら１回目で終え、Ｘ≦ｋならもう一度ボールを取り出すという方法で行う。ただし、ｎは自然数で、ｋは０≦ｋ≦２ｎを満たす整数とする。

問．得点の期待値は？


問題文の時点でさっぱりなんです…。誰かよろしければ教えてください。
ちなみに答えは
-1/4n(k²-2nk-4n²-2n) です。

  • 質問者：みかん
  • 質問日時：2008-06-23 18:30:27
  • 0

ベスト回答

ん…合っているんじゃない?。

最初の振り分けでYが選ばれる確率は
Y = k/(2n)で、

Xが選ばれる確率は
X = (2n-k)/(2n)ですよね。


全体の期待値はそれぞれの事象での期待値の和になるから
Yの時単独の期待値は
Ny = (2n迄の和)/(2n) = (2n+1)/2
事象込みでは
Y・Ny = (k(2n+1))/(4n)

Xの時単独の期待値は
Nx = (2n迄の和-k迄の和)/(2n-k) = (4n²+2n-k²-k)/(2(2n-k))
事象込みでは
X・Nx = (4n²+2n-k2-k)/(4n)


で、全部足すと
X・Nx + Y・Ny = (k(2n+1))/(4n)+(4n²+2n-k²-k)/(4n)
= -(k²-2nk-4n²-2n)/(4n)

べき乗が書き込めなかったので分かり難い式になったけど、これで理解できますか?。

回答者：水辺 遊 (2008年06月24日 06時24分)

******

っとっとっと、もしかして相談文を読み直してみたら、問題文の意図を理解したいと言う意味だったのかしら?…^^;。

最初にボールを取り出す時に1回目の抽選をしています。kより大きかったら合格、k以下なら不合格みたいな感じですね。なのでそれぞれの期待値を取ればOK(因みに求める物は同じですが、平均と言うのは観測の結果に対して、期待値と言うのは確率に対して用います)。なので上の式で言えば、X + Y = 1になります。

ではそれぞれの期待値は、それぞれの事象に対して独立ですから、それぞれの事象で起きる期待値を加算すれば全体の期待値になります。その時に2回目の抽選をした2段階抽選とみなせます。

Xの時はそのままボールの数値を使うので、kから2nまでの平均値(総和÷試行回数=期待値)を出せば良いです。

Yの時は再抽選をし直す訳で1～2n迄の平均値(総和÷試行回数=期待値)を出します。これも、どうと言う事は無いですね。

それぞれの期待値が出たので全体の期待値はXが発生する確率にX時の期待値を掛ける、Yが発生する確率にY時の期待値を掛ける、そして全部足す。コレでOKです。

独立試行の確率の問題はそれぞれの事象を抽選するタイミング毎に分解してやると、ややこしい条件付確率でも簡単に解けるようになります。

頑張ってください。

回答者：水辺 遊 (2008年06月25日 22時58分)

*****

『²』(2乗)の表示を修正しました(汗…^^;。

*****

返信有難うございます。迷惑メールみたいに何度もシステムからメールが飛んでいたのではないかと…^^;…長文になってしまったり何度か書き直したりと、実に要領の悪いヤツで申し訳ありませんでした(大汗。

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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。
お礼コメント

丁寧な解答ありがとうございます。
とても参考になりました！！

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回答

ｋ＝０とすると、全てＸ≧ｋ＋１となり、１回目のボールの数字が得点となるが、この場合、最低得点は１（最高得点は２ｎ）。しかしながら、この期待値の式：-1/4n(k²-2nk-4n²-2n)のｋに０を代入すると、1/4n(4n²+2n)となり、１未満。期待値が最低得点よりも少ないので、この式はＮＧでは？

  • 回答者：シティー (質問から4時間後)
  • 0
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やや参考になりました。回答ありがとうございました。
お礼コメント

一応、解答にはこう書いてあったので、たぶん合っていると思います。

回答

こういう質問もあるもんなんですね。

さて、Xがk以下の時の確率P(X)は
最初の試行でk以下を選ばなくてはいけなくて、次の試行でXの球を取る必要があるので、
P(X)=k/4n² です。

そしてXがk+1以上のときの確率は
その1：ダイレクトにＸの球を取る確率　1/2n
その2：一回目でk以下を引いて、次にゲットする確率　k/4n²
以上の和になるので、P(X)=(2n+k)/4n²

これで平均値を計算してやればいいと思いますよ。

  • 回答者：通りすがりPart2 (質問から54分後)
  • 0
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参考になり、満足しました。回答ありがとうございました。
お礼コメント

丁寧な解答ありがとうございました。

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