質問

まずは壊れた状況がどういう状況なのかを明確にすることが一番重要です。

「画面が真っ暗」とおっしゃいますが、本当に何も表示しないのか？
（何らかのテキストなり何なり表示しないのか？）
その真っ暗に至るまで何ら表示されないのか？
「電源を入れるとゴーッッという音のみします」は何の音なのか？
（ファンの音ならまだしも、ハードディスクの音であれば上記の手順も意味が無い場合があります）
実はモニター側の問題では無いのか？

念のため、ハードディスクがハード的に正常であれば、上記の手順も有効ですが、それでも何でもかんでもコピーすると問題が生じることもあります。
「データ」を広義に解釈すると、「入っている全ての内容」とも取れますが、Windowsのシステムの領域は環境とかで必要であっても、通常通りコピーを行うと、新しい側のパソコンが影響を食らうことがありますので、慎重さが必要です。

蛇足カモですが、USBケースはなるべくバスパワーだけの物は避けることをお勧めします。
（ハードディスクの消費電力が大きいと、バスパワーだけでは新しいパソコンのUSB端子を破損する場合があります）
もちろん、ディスクの仕様、ATAかSATAか、2.5インチか3.5インチか、高さは高過ぎないかなども確認してください。

===補足===
う～ん。
お書きになった追加情報では、マザーボード（主基板）がおかしいのであって、ハードディスクはおかしくないようにも見えますね。
デスクトップかノートかが不明ですが、軽症ですと「単にバックアップバッテリが消耗しておかしくなっているだけ」ということもあり、それであってデスクトップ型であれば、100円ショップで2個組で売っているボタン電池1つで解決する場合もあるとは思います。

まぁ致命的にマザーボードが壊れているとすれば、あまり素人が手間隙をかけるのも得策ではありませんので、おっしゃる手法でいいでしょう。

表示の問題かどうかは、「単に表示が消えているだけで、実は起動している」とかの場合、ハードディスクが何と無く動き、LEDが点滅するはずです。
デスクトップでモニターを変えられるなら、変えて確かめる。
ノート型で外部出力があるならば、そこにモニターを接続するになりますね。

対象ファイルは了解です。

ディスクの高さとは、ノート型の2.5インチの場合、現在は9mmがほとんどですが、昔12.5mmと高い物があったための、万が一の注意です。

スミマセン。
評価をお入れになりましたので、抹消再回答が出来ませんので、これにて失礼いたします。

• 回答者：お助けマン (質問から3時間後)
• 1

買い換えるのが前提っぽいので、そのあたりのお話を……
ＰＣはメーカー製？自作？

スキルがあればどちらも問題ないですが、ＨＤＤを取り出してＵＳＢの外付け

大丈夫です。

多分マザボの不具合だと思われます。
システムデータにエラーがあったとしても、Winが起動している状態でなら
その他のデータにアクセス出来ます。
HDD自体にエラーがあったとしても、エラー箇所に保存されているデータ以外は救出できると思います。


気になるのは３番の方法だけですかね。
既存のHDDを新しく買ったＰＣに内蔵してしまう方が経済的かな？と思います。
次に買うＰＣなら大体S-ATA接続だろうと予測されますので
現在のHDDがS-ATAでも問題なく接続できる。
既存のHDDがパラレルだったとしても、今のマザボには１箇所接続する場所がまだある。マスターに光学ドライブ、スレイブにジャンパ設定したHDDで起動可能

そして必要なデータを一度新規購入のＰＣに移動、念のため既存のHDDをフォーマットして個人のデータを入れるＨＤＤにしてしまう。
こうする事で、ＨＤＤの外付けケースを買う必要がなくなる。
更にＨＤＤを十二分に使い倒す事ができてウマー

===補足===
書き忘れ

最初からずっと画面は真っ暗。との事ですがＢＩＯＳも表示されないのですよね？

ならリカバリは不可、そのようなＰＣの修理依頼を何度かされたことがありますが
マザボかビデオが逝っています。

マザボの交換orビデオの交換で通常通り今のままの構成で立ち上がります。
スピーカー接続してます？
電源入れると真っ暗なまま起動音しないですか？
その場合映像は出力されていませんが、正常に起動している可能性が高いです。
自分の場合、試しに画面の映らないＰＣを起動後
キーボード左下の「Winボタン」→「Ｕ」→「Ｕ」でシャットダウンを確認しました。

• 回答者：みかん (質問から19時間後)
• 1

パソコンの動作速度的に問題なければ、１は新しい内臓HDDを購入に変更して、２の後にHDD交換してリカバリで購入時の状態に復活させる。
で、３、４で復活したパソコンにデータコピー。

パソコンが遅いので買い替えた方がいいかな？と思ってるんなら新しいパソコンを購入した方が快適でしょうけど。

• 回答者：匿名希望 (質問から4時間後)
• 0

お書きになった手順で大丈夫ですがHDD自体の故障ですと
新PCで読み出せない場合があります。その場合でも
ディスクチェックで修復が可能な場合もあります。
４．のデータコピーは新PCのOSでUSBディスクを認識
するのでHDDが壊れてなければ大丈夫です。
ただUSBバスパワーのみでは電源容量不足が心配ですので
出来れば補助電源（アダプタ）のあるUSB接続アダプタを購入して
ください。

また今のPCで単にOSが起動しないだけならMBRが壊れてる
だけの場合もありますので「MBRの修復」であっさり直る事も
考えられます。まずこれを試して見てください。
「OSの修復」でも直る場合もあります。

===補足===
『お助けマン』さんが詳しく書かれてますので蛇足ですが
私の良く参考にするサイトは自作PCなどでも通用する
http://www.geocities.jp/ja3ocxbrd/1stassembly.html
その中で起動画面が出ないトラブルは
http://aopen.jp/tech/faq/mb/boot.html
あらゆる場面について書いてあるので自分の場合に
当てはめて必要箇所を選択してください。

画面は出るけど起動しないMBR破壊時の修復は
http://homepage2.nifty.com/winfaq/howtoboot.html

用語が少しわかればGoogle検索等でPCトラブルの対処法は
いくらでも出てきますよ。
ノートかデスクトップか、メーカ型番、OS（XpかVistaか）など
必要情報書いてくれるともっと適切な助言が出来るんですけど…。
補足は1回限りなのですがこの辺にしときます。ではGoodLuck！

• 回答者：PCya (質問から2時間後)
• 1

パソコンの中身が大切でないのならリカバリーがベストです

ただデータなど貴重なファイルがあるならコピーをとった方が良いでしょう

• 回答者：匿名 (質問から25分後)
• 1

クラッシュPCのHDDのブートセクターに異常があり起動しないと思いますので、
新しいPCを買って古いHDDをつないでもだめだと思います。
リカバリーを書けたほうが良いのではないですか？

• 回答者：ぶーちんロック９９ (質問から10分後)
• 0