病院勤務の者です。
健康保険法では、『通院の度に保険証を各医療機関で確認する事』が義務付けられています。
しかしながら、病院が保険者(保険証を発行しているところ)へ医療費を請求するのは、月に1回となっているため、『月に1回保険証をみせてください』といっている病院が大半です。(全ての病院がそうですといっても過言ではないと思います)
引越しをした、仕事をやめた等で保険資格がなくなれば、医療費を支払っていただけなくなりますので、請求先を確定させるための行為ですね。
(必要以上にやれば、仕事は増えるし、患者も面倒だし・・・というのが本音です)
コレを踏まえたうえで、あとは各々の病院がどこまで融通を利かすかということになります。
事情を説明すれば、融通は利かせてくれるところは多いと思いますし、文面からしてかかりつけという感じがしますので、保険扱いをしていただいているはずです。
保険証を提示できなかった月初に受診された領収書が保険扱いとなっていると思いますので、確認していただければ安心できるかと思います。
それと多少遅れても問題ないです。心配であれば、病院の事務さんに電話してもらって相談していただければよいかと思います。