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質問

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xy平面において、2つの放物線
y=x^2+ax
y=x^2-2ax
およびこの2つの放物線と接する直線lがある、ただしa＞0とする

(1)直線lの方程式をaを用いて表せ
(2)この2つの放物線と接線lで囲まれる図形の面積Sをaの式で表せ

上記の問題の解き方と答えを教えてください。お願いします。

  • 質問者：ぶん
  • 質問日時：2012-03-28 18:03:56
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回答

(1)直線ｌの式をｙ＝ｓｘ＋ｔ　とする。求める未知数はｓとｔ

この直線がy=x^2+ax　と接するから　ｓｘ＋ｔ＝x^2+ax　式を変形して整理すると x^2+（a-s)ｘ－ｔ＝0
接しているから、ｘの解はただ１つしかない。要するに重解を持つから、判別式をDとすると
D＝（a-s)^2＋4t＝0　・・・①

また、y=x^2-2ax　と接しているから同様に考えて　D＝（-2a-s)^2+4t＝0　・・・②
①②から（a-s)^2＝（-2a-s)^2＝(2a＋s)^2　a>0　だから、a≠0　となり　a-s＝2a＋s　s＝(-1/2)ａ
これを①に代入して計算するとｔ＝-(9/16）a^2
したがって、求める直線は　ｙ＝(-1/2)ａｘ-(9/16）a^2

(2)y=x^2+axとy=x^2-2axの交点を求めるとx^2+ax=x^2-2ax　だから３ａｘ＝0　a>0　だから　x=0　y=0
また、直線ｌとのそれぞれの放物線との接点は
①y=x^2+ax　と　ｙ＝(-1/2)ａｘ-(9/16）a^2　において　(-1/2)ａｘ-(9/16）a^2＝x^2＋ax
i.e.　x^2＋3/2ax＋(9/16）a^2＝0　　ｘ＝-(3/4)a　ｙ＝-(3/16)a^2
②y=x^2-2ax　と　ｙ＝(-1/2)ａｘ-(9/16）a^2　において　(-1/2)ａｘ-(9/16）a^2＝x^2-2ax
i.e.　x^2-3/2ax＋(9/16）a^2＝0　ｘ＝(3/4)a　ｙ＝(21/16)a^2

したがって求める面積は　
∫（x^2＋3/2ax＋(9/16）a^2）ｄｘ（ｘは(-3/4)aから0まで）＋∫（x^2-3/2ax＋(9/16）a^2)ｄｘ（ｘは0から(3/4)aまで）
＝［(1/3)x^3＋3ax^2＋(9/16）a^2ｘ］（ｘは(-3/4)aから0まで）＋［(1/3)x^3－3ax^2＋(9/16）a^2ｘ］（ｘは0から(3/4)aまで）
＝(9/32）a^3　・・・（答）　計算ミスがあったらあしからず

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