まず前提条件を確認しながらお答えします。
クックさんが入居者(賃借人)であれば、これは管理会社の仕事ですから受ける筋合いのものではありません(大家さんから管理会社に話してもらえばいいことです)。
クックさんがそのバイクの所有者として疑われているのであれば、別の問題になります。
「マンションの前」がマンションの敷地なのか道路(公道)なのかによって対応が違ってきます。公道なら警察あるいは市役所に相談してください。敷地内だとちょっと厄介です(これも大家の仕事)。
勝手に処分すると逆に器物損壊で訴えられることもありますのでご注意。
プレートは所有者を調べる手がかりになりますが、原付は市役所の管轄ですから、市役所に相談してください(所有者が判明してもクックさんはこの件の当事者ではないですから、所有者との交渉はやはり大家さんの仕事になるでしょう)。
どうして大家さんがこの件をクックさんに持ってきたのか腑に落ちないところがあります。ほかの事情もあるのではないですか。