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質問

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これらの問題が全く分かりません。分かりやすい解説をお願い致します。
1.(2x+1)5乗を展開せよ。
答えは、32x5乗+80x4乗+80x3乗+40x2乗+10x+1
2.(3x-2)6乗 [x5乗] [ ]内の項の係数を求めよ。
答えは、-2916
3.characterを一列に並べる方法は何通りあるか。
答えは、45360
出来れば早く解説して下さい!

  • 質問者:あなた
  • 質問日時:2011-11-30 18:25:18
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難しいですね。僕には1つも解くことができません。:;;

  • 回答者:匿名 (質問から7日後)
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1と2は力技による展開でも解けますが時間がかかります。
二項定理(パスカルの三角形)のしくみを理解しないと難しいです。

パスカルの三角形
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4b/Pascal_triangle.svg/588px-Pascal_triangle.svg.png

わかりやすいところで3乗の展開公式で確認すると
(a+b)3乗=1aaa+3aab+3abb+1bbb
あえて1という係数を書き、2乗や3乗をまとめずに書いています(書き直すと a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)

※ ^2は2乗、^3は3乗を表します

係数は順に1・3・3・1がつき、文字について見てみるとaは3乗→2乗→1乗→0と減っていき、
bは0→1乗→2乗→3乗 と増えていきます。

パスカルの三角形を見つつ5乗の展開を考えると
(a+b)5乗=1aaaaa+5aaaab+10aaabb+10aabbb+5abbbb+1bbbbb
となるため、1の問題は
(2x+1)5乗=1・(2x)^5+5・(2x)^4・(+1)^1+10・(2x)^3・(+1)^2+10(2x)^2・(+1)^3+5・(2x)^1・(+1)^4+(+1)^5

2の問題は6乗なので、パスカルの三角形の「1、6、15、20、15、6、1」を使います。
そのうちのx^5の係数ということなので、
6・(3x)^5・(-2)^1=6×243x^5×(-2)=-2916x^5

3は「同じものを含む順列」という単元です。
character→9文字あるが、aが2文字、cが2文字、rが2文字ダブっています。

9!
──  =45360
2!2!2!

(別の例)
aaabcddddeffを一列に並べる方法は?

aaabcddddeff→全部で12文字あるが、aが3文字、dが4文字、fが2文字ダブっているので

12!
──  
3!4!2!

です。

  • 回答者:匿名 (質問から2時間後)
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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

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