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高校の数学の問題なのですが、解き方がわかりません。どなたか教えて頂けないでしょうか。

次のような△ABCにおいて、指定されたものを求めよ。

(1)A=30°,B=135°,a=10のときb

(2)B=120°,C=45°,b=3√2のときc

(3)A=60°,C=75°,b=√3のときa

  • 質問者:ゆかり
  • 質問日時:2014-09-16 01:05:42
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三角関数の正弦定理と余弦定理を組み合わせて計算すれば答えは出ますが、それではつまらないので、、、
(1)直線ABを延長してAD⊥CDとなるようにDをとる。
∠ADCは90°
∠Bは135°だから∠DBCは45°三角形の内角の和は180°だから
∠BCDも180-90-45=45° ゆえに三角形BDCは直角2等辺三角形
直角2等辺三角形の辺の直線比は1:1:√2
斜辺に相当するBC=a=10だから CD=BD=10/√2=5√2

ここで、∠ACB=∠C=180-135-30=15°したがって、∠ACD=15+45=60°
∠Aは30°だから、この直角三角形の直線比は1:2:√3
CD=5√2だから AC=b=5√2×2=10√2・・・(答)

(2)頂点BからACに垂線を引く。交点をDとする。∠BDC=90°、∠C=45°だから∠DBC=45°したがって三角形BDCは直角2等辺三角形。BDをxとすると、BD=CD=x
一方、∠BED=30°となるように直線AD上にEをとる。∠BDE=90°だから三角形BDEの直線比はBD:BE:DE=1:2:√3 DE=(√3)x
ここで∠B=120°∠EBD=180-90-30=60°したがって、∠ABE=120-45-30=15°
ゆえに三角形AEBは二等辺三角形i.e.BE=AE=2x
AC=AE+ED+DC=2x+(√3)x+x=3√2 x=3√2/(3+√3)

三平方の定理からx^2+{(√3)x+2x}^2=12=c^2 c=2√3・・・答

(3)直線AB上にCD⊥ABとなるような交点Dをとる。∠A=60°だから∠ACD=30°
b=√3だからCD=3(直角三角形ADCの直線比は1:2:√3)
∠C=75°で∠ACD=30°だから、∠DCB=45°一方∠B=45°だから、三角形BDCは直角2等辺三角形。直角2等辺三角形の直線比は1:1:√2 CD=3だからBC=a=3√2・・・答
テスト等でこの方法で解いても点数が来ないとは思うので、それが残念ですが。。。中学生で三平方の定理は習うと思うので、中学の知識でもなんとかなりそうです。
それから、計算ミスがあったらあしからず。

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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

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