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質問

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xy平面において、2つの放物線
y=x^2+ax
y=x^2-2ax
およびこの2つの放物線と接する直線lがある、ただしa>0とする

(1)直線lの方程式をaを用いて表せ
(2)この2つの放物線と接線lで囲まれる図形の面積Sをaの式で表せ

上記の問題の解き方と答えを教えてください。お願いします。

  • 質問者:ぶん
  • 質問日時:2012-03-28 18:03:56
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(1)直線lの式をy=sx+t とする。求める未知数はsとt

この直線がy=x^2+ax と接するから sx+t=x^2+ax 式を変形して整理すると x^2+(a-s)x-t=0
接しているから、xの解はただ1つしかない。要するに重解を持つから、判別式をDとすると
D=(a-s)^2+4t=0 ・・・①

また、y=x^2-2ax と接しているから同様に考えて D=(-2a-s)^2+4t=0 ・・・②
①②から(a-s)^2=(-2a-s)^2=(2a+s)^2 a>0 だから、a≠0 となり a-s=2a+s s=(-1/2)a
これを①に代入して計算するとt=-(9/16)a^2
したがって、求める直線は y=(-1/2)ax-(9/16)a^2

(2)y=x^2+axとy=x^2-2axの交点を求めるとx^2+ax=x^2-2ax だから3ax=0 a>0 だから x=0 y=0
また、直線lとのそれぞれの放物線との接点は
①y=x^2+ax と y=(-1/2)ax-(9/16)a^2 において (-1/2)ax-(9/16)a^2=x^2+ax
i.e. x^2+3/2ax+(9/16)a^2=0  x=-(3/4)a y=-(3/16)a^2
②y=x^2-2ax と y=(-1/2)ax-(9/16)a^2 において (-1/2)ax-(9/16)a^2=x^2-2ax
i.e. x^2-3/2ax+(9/16)a^2=0 x=(3/4)a y=(21/16)a^2

したがって求める面積は 
∫(x^2+3/2ax+(9/16)a^2)dx(xは(-3/4)aから0まで)+∫(x^2-3/2ax+(9/16)a^2)dx(xは0から(3/4)aまで)
=[(1/3)x^3+3ax^2+(9/16)a^2x](xは(-3/4)aから0まで)+[(1/3)x^3-3ax^2+(9/16)a^2x](xは0から(3/4)aまで)
=(9/32)a^3 ・・・(答) 計算ミスがあったらあしからず

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