少々気になった点がありますので。
「事故」とは「0対10」ということから「交通事故」ということなのでしょうか？
それでしたら、というか「労災」にしてもですが、基本的には「健保」を使ってはいけませんというか、本当なら病院で健康保険を使って診療を受けようとしても、「交通事故では健保は使えませんから自費（実質は建て替え払い）でお願いします」というのが普通です。
「第三者被害届け」を言われていますが、例外的に健保扱いにするには少なくともそれが必須であって、早急に提出する必要があり、それを引っ張り延ばしたままこうやってもめるのも良くありません。
「第三者被害届け」を用いた診療は、医療費を負担する主との交渉などが面倒なために、医療機関側で嫌がるのが普通ですから、それで転院が絡むとさらにややこしくなります。
交通事故の場合はそれに関係する保険や自費で賄うことになっていますので、「健保」が負担するのは筋違いですから、何かの手違いなどで「健保診療」になったとしても、基本的には判明した時点などで再計算になります。
セカンドオピニオンやその他以前に、まず「健保診療」が出て来る時点で上記原則をハッキリさせておかないとおかしなことになるとも言えますので、もしかしたら「第三者被害届けで健保診療をしてくれる病院」という制約の問題が絡むかもしれませんね。
すなわち、転院などされたら原理原則から外れる診療の話が健保組合にまで行ってややこしくなるために、それを阻止しようと拒まれているだけな気もします。
逆質問的で申し訳ありませんが、いったい最初に誰が「健保診療にせよ」と指示されたのか？
このあたりから明らかにせねばならない様な気がします。
===補足===
「歩行者が右折」というのはよくわかりませんが、車対車では無く車対人なんですね。
1回しか補足が出来ませんので、ご参考にしていただけるかはわかりませんが、お書きになった経緯を読ませていただくに、転医というか転院に難色を示されている根本は、症状との因果関係にある様な気がして来ました。
最初にキリが付いた様な形からぶり返しているかの様な所ですね。
（以下、勝手に空いている場合の憶測でお書きしますので、実際には2週間以内とか極めて短くて違っている場合はご了承願います）
おおよそですが、「この間隔が2週間以内であれば再通院というか、因果関係が認められて継続しやすいが、これが一旦切れたかの様な後の2週間以上、たとえば1か月とか空いていると、かなり因果関係というか経緯を説明しないと、いくら主張しても因果関係が認められにくい」ということがあります。
これは、一般的にはおおよその後遺症が気付かぬうちに2週間を経過して現れることが極めて少ないためで、論理的に言うなら、「2週間目に訴えるような自覚症状が無ければ因果関係無し」という解釈をされる可能性が高いということで、このタイミングで保険会社との間で何らかの回復した症状の確認・報告が行われていると、担当としても扱いにくくなると思います。
それが「保険扱いにしてくれ」（＝私病（別要因を疑われているために傷害保険処理しない））ということになったのであり、逆を言うと、ここで「疑われている？」かもしれないという認識を持つべきな気がします。
言葉尻で申し訳ありませんが「健保でいいです」じゃないかもですね。
（傷害保険で下りない可能性がありますので）「健保扱いにしてください」ではないでしょうかね。
私も通りすがりの第三者で事実詳細を把握している訳ではありませんので、因果関係があるとも言えませんし、無いとも言えませんが、可能性として客観的に見ると上記の様になっているのではないかという気がします。
因果関係さえハッキリすれば正々堂々と傷害保険扱いになるはずですので、その点に留意して、どうしてその様な扱いになるかのカラクリをご理解の上、取り組まれるのがベターではないかという気がします。
これは他医師のインフォームドコンセント以前か同時にクリアしておかないといけないと思います。
