思い違いがあると思います。
弁護士や学者、研究者などはこだわりがあるようです。
しかし一般の人でも、たとえば、一人っ子同士の結婚などで、親が子供に親の姓を継いで貰いたい思ったり、逆にそのことだけで破局になるなどの問題があるからです。
夫婦別姓でも、選択性ですから、夫婦間で話し合えばいいわけです。こだわりがなければ今までどおり、同姓を選べばいいのです。
日本の場合、妻が夫の家に入るという考えが根強いですから、自民党あたりは「日本の伝統が破壊される」とか「家族間に絆が損なわれる」と主張して、反対しています。