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数学の問題でわからないことがあったので数学の得意な人回答お願いします。
 問題:1つの内角と1つの外角の大きさの比が5:1の正多角形は正何角形か?
 答え:180°×6分の1=30°
     360°÷30°=12
             正12角形

何でこんな式で出せるんですか?

  • 質問者:愛ちゃん
  • 質問日時:2010-11-24 20:21:02
  • 0

回答してくれたみんなへのお礼

なるほど!!!
みなさんありがとうございました

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他の方が外角の和を使ってるみたいなので
ここでは外角の和を使わない
パターンを紹介します。

内角と外角の和は180°なので。
180°のうち5/6が外角で1/6が内角なら
内角は30°です。

また正多角形のすべての頂点はひとつの
ある円周を通ります。そこでその円の中心から
各頂点に線を引くと正○角形の○と同じ数の、
等しい二等辺三角形に分けれます

正○角形の一つの内角はその二等辺三角形の
底角2つの和です。

故に二等辺三角形の頂角は180-(底角×2)

円の中心は360°ですので
360を頂角の角度で割れば
多角形が何個の三角形にわかれたかわかります。

二等辺三角形の数と多角形の角数が同じなので
質問のような計算になります。

  • 回答者:匿名48 (質問から4日後)
  • 1
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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

求める多角形をn角形として、nを求めていきます。

多角形の1つの内角と1つの外角の和は180度です。
(図を書いて確かめて下さい。)
よって、1つの内角と1つの外角の比が5:1ならば外角の大きさは
180度の6分の1、つまり30度だと分かります。

ここで、どんな多角形でも外角の和が360度であったことを思い出します。
すると、1つの外角が30度でしたから、30×n = 360 となりますね。
これを変形して、n = 360÷30 =12 となります。

  • 回答者:匿名 (質問から20時間後)
  • 2
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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

あはあはさんの文は、途中で内角と外角が入れ替わっています。(総和が360°になるのは外角です)

・内角というのは、各頂点の両隣の辺で作る角。正三角形なら60度°
・外角というのは、一つの辺を延長して、隣の辺と作る角。正三角形なら120°
・正多角形で、一つの内角と一つの外角の和は180°(内角と外角で直線になるので)
・正多角形で、中心から角頂点に補助線を引いて二等辺三角形を作ると、内角の半分が一つの底角になります。
三角形の内角の和が180°ということから、元の正多角形の外角と二等辺三角形の頂角が等しくなります。

問題に当てはめると、内角と外角の比が5:1ですから、内角と外角を合わせた180°(直線)のうち
外角の分が1/6の30°です。
正多角形の外角は、中心から各頂点に補助線を引いてできる二等辺三角形の頂角と等しいので、
30°の頂角がいくつ集まって360°になるかを求めるのに、
360°÷30 で12個の二等辺三角形ができるわけです。

ということで、正12角形ということになります。

  • 回答者:竹芝 (質問から2時間後)
  • 1
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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

内角と外角が5:1、つまり、180度を6個に分けた内の5個が外角、1個が内角。だから、180÷6で内角30°が導き出せる
多角形の内角の総和は必ず360°なので360÷30で12角形となる

  • 回答者:あはあは (質問から32分後)
  • 1
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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

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