親が公立に行ってほしいと思うのは、やはりお金の事を一番に考えてるからでしょう。
あなたにとっての第一志望校である私立高校にって、自分がどのようになりたいとか具体的に説明する必要もあります。
それに、なぜ私立だと楽しい高校生活が送れるか説明不足だと思いますし疑問点でもあると思います。
楽しい高校生活のためだけなら、実際に公立高校でも楽しい高校生活は可能です。
現状だと「楽しい高校生活が送れるから私立に行きたい」と思われてると思います。
楽しい高校生活だけのためなら私立も公立も変わりはありません。(そのためだけならむしろ公立高校がいいと思います。)
親を説得するには、自分が希望してる私立に進学し場合入学後のメリット(たとえば進学実績が良いとか)を具体的に説明すべきでしょう。
その様な実績も説明して自分にとって私立に行く事はプラスになると説得しないと無理だと思います。
===補足===
いい方はわるいですが、高校側の言ってる「いじめがない」という言葉をうのみにしてはいけないと思います。
どこの高校も「いじめはない」と言ってますから。
学校が進学を希望する人に「いじめがあります」と言う事は言わないでしょう。
それにいじめが絶対にないと言う事は、断言はできないと思います。高校側が気付いていないレベルではあるかもしれませんし断言できるだけの監視体制を敷いてると思いません。
後、校風が自分にあってるからと言うのは理由にはならないと思います。
校風が合う合わないなどと言う事は、実際に通ってみないとわかりません。
仮に希望道理に通って校風が合わなければどうするつもりですか?そんなに簡単に高校を辞めるとは言えないと思います。
厳しいですが、私立に行きたいのは単に「制服が可愛いから」以外の理由しかないように思います。
勉強のレベルだけなら、別の学校を探せば自身のレベルにあった学校は見つけられると思います。
それに私立公立は関係ないと思います。