質問

終了

数学好きの方へ！次の問題なのですが、うちの娘は「斜辺と他の１辺」で証明して○をもらってきました。娘によると「１辺と両端の角」で証明した生徒も○だったというのです。数学が大好きな私としては「ありえない！」と思うのですが、みなさんはどう思われますか？図がないのでわかりにくいかと思いますが、解いてみてください。

『正方形ＡＢＣＤの辺ＡＢ上に点Ｅをとり、辺ＥＣを１辺とする正方形ＥＣＦＧをつくります。点Ｄと点Ｆを結ぶとき、△ＥＢＣ≡△ＦＤＣであることを証明しなさい。』

===補足===
「ありえない！」について……
点Ｄと点Ｆは結んだだけであり、ＡＤの延長上に点Ｆがあるわけではありません。
よって、∠ＦＤＣ＝90°を仮定として用いることは不可能です。
∠ＦＤＣ＝90°であることを別に証明した上で、条件として用いるのであれば○ですが、そこまでする中学生はいないでしょう。
つまり、うちの娘も含め、見た目で（きちっとした証明なしに）90°だと決めつけているところが、まず第１に「ありえない」点です。
第２には、その証明に○をつける先生に対して「ありえない」と思ったわけです。

参考までに模範解答です。
△ＥＢＣと△ＦＤＣにおいて
ＢＣ＝ＤＣ（仮定）…(1)
ＥＣ＝ＦＣ（仮定）…(2)
∠ＥＣＢ＝90°－∠ＤＣＥ…(3)
∠ＦＣＤ＝90°－∠ＤＣＥ…(4)
(3)(4)より　∠ＥＣＢ＝∠ＦＣＤ…(5)
(1)(2)(5)より　２辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ＥＢＣ≡△ＦＤＣ

質問者：math子ママ
質問日時：2008-11-24 02:35:10
2

回答してくれたみんなへのお礼

言葉足らずの質問に、丁寧に答えていただきありがとうございました。
四角形ECFGの位置は、図がないとわからないことです。すみませんでした。
学校の数学の先生に問い合わせてみたのですが（匿名で）、今回は得点を修正することはできないが、次回からは細心の注意を払うとの返事をいただきました。
ちなみに、∠ＦＤＣ＝90°の証明をしたうえで、「斜辺と他の１辺」「１辺とその両端の角」の証明をしていた生徒はいなかったとのこと。
「50分間の実力テストの中の１題であること」を書かなかったことについても、言葉が足りなかったと反省しています。時間内に解くのは無理であろうという意味での「そこまでする中学生はいない」でした。
質問の難しさを痛感しました・・・

並び替え：

回答

元、高校教師(数学)です。
補足を読んだ上で回答させていただきます。

まず、問題が不正確です。条件が足りません。
点Fが、点Cを起点に点D側にあればいいのですが、点B側であったら、
(合同にならないので、)証明問題として成立しません。

1つ目の「ありえない！」について、
直接的に、∠ＦＤＣ＝90°を仮定していたとしたら、
また、math子ママさんの娘さんの場合は、見た目だけで直角だと決め付けているようなので、
正解ではありません。
2つ目の「ありえない！」について、
満点の「○」は、教育の本質をわかっていない先生のように思います。

数学では、回答(の過程)は無数にありますので、この問題の場合にも、
直角三角形の「斜辺と他の１辺」や「１辺と両端の角」を利用して証明するのは、
回り道になるかもしれませんが、きっちり証明されていれば正解(満点)です。
ある時間内にその問題が解ければ良いのですから。
例えば、学校が終わって夕食までに自宅に帰ってくるのに、
まっすぐ帰ってくるのもよし、途中で寄り道したり遊んだりしてから帰ってくるのもよし、です。

もし、直角三角形の「斜辺と他の１辺」や「１辺と両端の角」や他の方法で、
矛盾が無く、論理的にしっかりしているのでしたら、その生徒はある意味で、才能があるかもしれません。
教育者としては、その可能性をなくしてしまってはいけないので、
私が同じ立場だったら、どこまではよくてどこからがいけないのかをきちんと細かく採点して、
論理がきちんとしている部分については、部分点を与えると思います。
少なくとも、模範解答でないから、×とは間違ってもしません。

ただし、この問題に関しては、お子さんのお年では、幾何学以外で証明する方が難しくなることもありまして、模範解答が一番すっきりしています。

個人的には、数学や教育に限った話ではありませんが、先入観は危険だと思います。
子供は無限の可能性があると信じています。

===補足===
問題が不正確の箇所の合同にならない理由です。
まず、点Eが辺AB上(点Bを含まない、かつ、辺ABの延長線上ではない)にあります。
(Bを含まないのは、点Bと重なると、△ＥＢＣが三角形にならないからです。)
(アバウトな表現ですいませんが、)点Fが点B側であったら、
∠ＦＣDが90°より大きくなり、△ＥＢＣが直角三角形なのは自明なので、
明らかに、△ＥＢＣと△ＦＤＣは合同にならない、ということです。

ちなみに、簡単ですが、∠ＦＣDが90°より大きい理由は、下記です。
∠ＦＣD ＝∠ＦＣB + ∠BＣD ＝∠ＦＣB +90°＝90°+ α

回答者：匿名希望 (質問から7日後)
2

この回答の満足度

参考になりました。回答ありがとうございました。

回答

厳密に言うと問題文から問題があります。“辺ＥＣを一辺とする正方形”では、点Ｄを囲むように作るのか、点Ｂを囲むように作るのかが不明です。おそらく図があるからいいと思っていたのかもしれないが、点Ｂを囲むように作った場合△ＥＢＣ≡△ＦＤＣとはなりません。

ということで、とりあえず素直に解けば、補足の模範解答で問題ありません。

たしかに、娘さんの「斜辺と他の一辺」やその友達の「一辺とその両端の角」で証明することは∠ＣＤＦ＝９０°であることを示さないと無理であり、そのためには△ＥＢＣ≡△ＦＤＣを証明しないといけないので、結局、模範解答のとおりに解くのが最適です。

私も数学が大好きですので、気持ちはよくわかります。ただ、「ありえない」その１の見た目で決め付けるというのは、子供にとってもよくある間違いです。ですから、これは「ありえない」と言ってしまわずに、それが間違いであることを説明してあげることが必要だと思います。

第２の「ありえない」は同感です。間違っているものを○にしてしまうと、その生徒は間違っていることに気づかず、間違いを繰り返してしまいます。ましてや、今後他の教師に教わっているときに「前はこれで○だったのに」という思いを抱かせることになり、教師に対する反発や数学嫌いを生んでしまう結果にもなりかねません。

先生も忙しく、生徒の答案にだまされてしまったのかもしれませんが、点数の変更はどうするかはともかく、これが間違いであることはきちんと授業で訂正してもらうようにお願いしたほうが良いと思います。

回答者：っゃゅょ (質問から2日後)
1

この回答の満足度

とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

回答

まあ、２辺狭角合同を用いるのが一番わかりやすい方法ですし、それ以外だとすごくまわりくどい。２辺狭角合同を忘れてしまっていたら頑張ってそれ以外の方法で導き出そうと考えた結果その結論に達することはあるかもしれませんが。
もし、直角であることを証明していないのであれば、確かにそれは正解ではないです。なので、確かにありえない。。
まあ、先生の方も、なんとなくあってる気がしたから、正解にしたんでしょうね。しかし、それって教育として駄目な気がします。○にしたら、幾何学の根本的な部分が否定されてしまう。その結果、幾何を教える意味がなくなってしまいますからね。
私の通っていた中学だったら、間違いなく×だったでしょう。なんせユークリッド幾何学からする先生でしたから。
しかし、私が中学生のころは図なんて正しいものじゃないとか言って教わりましたけど、今はそれすら批判対象とは・・・

回答者：とくめいきぼう (質問から21時間後)
2

この回答の満足度

とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

回答

なるほど・・・ありえないですね。

まず、「何がありえない」ですが、「娘の間違った解答に○をつけた先生がありえない」ということなんですね。ぱっと質問文を読んだだけでは「娘の解答は正しい」と捉えてしまいました。質問内の問題よりも、質問内容のほうが私には難解でした・・・(笑)。

・・・失礼しました。よく考えたえら、「斜辺と他の１辺」で証明はおかしいですよね。ただ、結果的に∠FDCは直角ですから、先生に先入観が働いたのでしょう。娘さんの答えを見て、「なるほど、こんな解答もあるんだ」と早とちりしてしまったのではないでしょうか。

でも、娘の解答を見て、このことを指摘できるなんてすごいと思います。私は「さすが、わが娘、ほかの事は違う解答を良くぞ見つけた」と褒めてしまうかもしれません・・・。先生もそんな感じだったのでしょう。
そうならば、教育者としては間違いですが、人間としては許される範囲では無いでしょうか・・・。

回答者：ぶんた (質問から21時間後)
1

この回答の満足度

参考になり、満足しました。回答ありがとうございました。

回答

結論から言いますと、math子ママさんの仮定が正しい。
模範解答もです。

∠ＦＤＣ＝90°は、問題の図面から得た物では？（ま、結果的にはそうなのですが）

で、「先生あり得ない」ですが。
正方形ECFGを正方形ABCDより下側に持ってくる生徒がいると、証明できません。
仕方なく
正方形はECFG　は正方形ABCDより上側に。
そこで問題なのが図面です。
明らかに正方形でないECFGを書かないと模範解答通りにならない。
そんなECFGを書くと、「図がおかしいから出来ない」＝”問題の誤り”≡”先生が問題”
になりかねます。
先生の、「テスト後の問題を避ける」態度がみえみえです。

回答者：塾講師 (質問から16時間後)
1

この回答の満足度

参考になり、満足しました。回答ありがとうございました。

回答

一番に思いつく解法は、「２辺とその間の角が等しい」です。
（証明）
△EBCと△FDCにおいて
四角形ABCD,ECFGはともに正方形なので
BC=DC・・・①
EC=FC・・・②
∠BCE=∠R-∠ECD=∠DCF・・・③
①～③より２辺とその間の角が等しいので
△EBC≡△FDC
（証明終わり）

※「斜辺と他の１辺」「１辺と両端の角」では、
∠FDCが直角となる説明が必要です。
（単に∠EBC=∠FDC=∠Rでは減点です）

===補足===
今回答したら、math子ママさんの補足があったため補足しますと
まさしくその通り（ありえない）です！

回答者：Sooda! ちゃん (質問から13時間後)
1

この回答の満足度

とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

回答

正方形であるのでBC=DC　FC＝EC
∠FCE=∠FCD+∠DCE=90度
∠DBC＝∠ECB+∠DCE=90度
∴　∠FCD＝∠ECB
2辺の長さと挟角が等しいので△FDCと△FDCとEBCは同じである

回答者：Pakupaku (質問から9時間後)
1

この回答の満足度

参考になり、満足しました。回答ありがとうございました。

回答

この証明で一番スマートなのは
『二辺とその間の角がそれぞれ等しい』
という合同条件をみたしていることを示すものだと思います。
△ＥＢＣと△ＦＤＣで
　BC=DC, EC=FC　(正方形の辺なので)
　∠BCE＝９０°-∠ECD　＝∠DCF
以上から　△ＥＢＣ≡△ＦＤＣがわかります。

「斜辺と他の１辺」は直角三角形の合同条件ですが
∠FDCが直角かどうかは　△ＥＢＣ≡△ＦＤＣが証明されて
初めてわかることですし、「１辺と両端の角」も同様ですよね。

数学に限らず、問題の解法はただ一つではありません。
だからこその楽しさもありますよね。
頑張られた　お嬢さんの答案・お友達の答案、ぜひ拝見してみたいですv

===補足===
補足を拝見しました。

∠ＦＤＣ＝90°を証明なく使っていらしたなら　それは問題ですね。
実際の答案を見ておりませんので　断定は憚られるのですけれど
先生は何か勘違いをされたのでしょうか。
お話を伺いたいです。

それにしても、半直線ＡＤ上で　２ＡＤ＝ＡＨとなる点Ｈをとると、
点Eが　BからAまで動くとき、頂点F はDからHまで動いていくことに
なるのですね。おもしろいです♪

回答者：Sooda! ちゃん (質問から8時間後)
2

この回答の満足度

参考になり、満足しました。回答ありがとうございました。

回答

結論からすれば、どちらでも証明できます。

線分BCと線分CDは同じ長さになります。正方形ですからね。
同じ理由から、線分ECと線分FCも同じ長さになります。
そして、角ECBと角FCDも同一ですから、三角形EBCと三角形FCDは合同という事になります。
これがお嬢様の回答ではないかと思います。

ここで考えてほしいのは、最初の図形も後から補助線で描かれた図形も、共に正方形だという事です。
そして、この場合はどちらの正方形も合同なんです。
辺の長さが同じであり、底辺と両端の角が同じであれば、その三角形も合同だと言えます。
もしも教わらないで、この回答を導き出したとすれば、実にユニークです。

幾何の証明問題は、このように、いくつかの解法があります。
ちょっと高級なパズルを解くみたいで、そこが幾何学の魅力でもあります。
質問者様には申し訳ないと思いますが、ニヤリとさせられてしまいました。

===補足===
補足を拝見しました。
・・・・・・そういうわけですか。根幹となる情報が伝わってこなかったようです。
私は角ＦＤＣが直角であると、図に記述があることを前提にしていました。
それが証明できれば、何でもありなんですけれどねぇ。

それはそうとして。
中学生の柔軟な思考には脱帽です。

回答者：Sooda! ちゃん (質問から7時間後)
0

この回答の満足度

やや参考になりました。回答ありがとうございました。

回答

私は、質問者：math子ママさんの言い分の方に筋が通っているように思います。

「１辺と両端の角」での証明には、
∠ＣＢＥと∠ＣＤＦが同じく直角である(点Ａ，Ｄ，Ｆが一直線上に並ぶ)ことが
前提条件として必要です。

が、私たちがそれを使用する誘惑に駆られるのは、
結果である△ＥＢＣ≡△ＦＤＣを、問題の図を見た時点で
「斜辺と他の１辺」から直観的に脳内で証明することで、理解・認識し、
それを前提にしているからでしょう。

△ＥＢＣ≡△ＦＤＣが証明されていない時点で
∠ＣＢＥ＝∠ＣＤＦを証明の材料にしてしまうのは、
因果律を無視する行為です。

故に Sooda!くんさんと同様、「１辺と両端の角」からの証明は「ありえない」と私も思います。

P.S.
ムーチョさんの言われる「平行線の移動と内角の和を用いて」の証明の見当がつきません。
どういう解法なんでしょう。
小・中・高と、算数・数学小僧だった私としては、ちょっとションボリ。

それは、math子ママさんのお嬢さんの同級生が学校の授業で駆使しても
不自然ではないほど簡単なものなのでしょうか？
うーむ……

回答者：szl (質問から3時間後)
0

この回答の満足度

とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

回答

。。と言うか、私も一辺と両端の角で証明したと思います。
娘さんがお幾つなのかわかりませんが・・・ものすごく賢いかも！！
お母さんがしっかり教えたあげているのですね。
でも、数学の証明は色々あって面白いですよね。
証明できれば間違えではないと思います。

===補足===
テストは「教えたものを理解しているのか」というものを図るものだと思います。
転勤家庭に育ち、行く先々で教えている内容が違うことに閉口しました。
学んでいないものは父に教わりましたが、学校で教えているやり方と違ったようで
間違いにされました。
意固地だった私は次のテストの時には分度器など密かに持ち込んだりしました。
（納得がいかなかったので）
色々ありましたが、話し合って仲良くなりました。
長くなりましたが、親がどう思うか？よりお子様が納得できるか否かだと思います。
質問の回答になっていなくてスミマセン。

回答者：羨ましいです (質問から3時間後)
0

この回答の満足度

やや参考になりました。回答ありがとうございました。

回答

私も、1辺と両端の角で、証明しますね。又は、斜辺と他の１辺でも、良いかとおもいますが、それ以外に思いつきません。
勿論両方を証明しても、より良いかとは思いますが、どの点が、有り得ないのかが、分からずにおります。

===補足===
あら、まさしく、仰る通りですね。実際の図に、どれだけの情報量が記載されているのか分からなかったのも有りますが、FDCは、確実に直角と、思い込んでいました。頭固くて済みません。もう、思い込んで物事を考えてしまう、数学に向かない思考回路になって来た様です。でも、仰る通りです。そう思って改めて考えると、有り得ない気持ち、正しいです。済みません。

回答者：Reikochat (質問から3時間後)
1

この回答の満足度

やや参考になりました。回答ありがとうございました。

回答

幾何学の合同の証明ですね。
「斜辺と他の１辺」も「１辺と両端の角」も、条件としては正しいです。
どちらでも、証明可能ですよ。
「斜辺と他の１辺」の方が、遥かに早くて簡単ですが、それだけが正解ではありません。

角ＢＣＥと角ＤＢＦが等しいのは、すぐにわかりますよね。
角ＢＥＣと角ＤＦＣは、少し手間ですが、平行線の移動と内角の和を用いて、等しいことが証明出来ます。

なので、最短の回答でなくても、ＯＫなんですよ。

===補足===
そういう意味の「ありえない！」ですか。。。
正直、正しく伝わってきてませんでしたねぇ。。
「図が無いので」と云うので、その問題用紙には、設問と共に図があって、角ＦＤＣには、直角の記号が入ってるのかと思いましたよ。。。

で、本題ですが、、、
そうであっても、「１辺と両端の角」は、何も問題ないですね。これは、どんな三角形でも通用する条件です。
ならば、問題は、「斜辺と他の１辺」のみ。しかし、本当の問題点は、元々の設問に置いて、角ＦＤＣが直角であることの既存性です。最初から直角だと判るかどうか？或いは、図があって、その記号があるのかどうか？です。
が、残念ながら、おっしゃってる内容では、どちらとも言い難いですね。
一番肝心な部分が、伝わってません。。。

まぁ、それを置いておいても、
＞そこまでする中学生はいないでしょう。
は、勝手な思い込みにしか過ぎませんよ。