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あなたは0.999・・・と9が無限に続く数と1はどちらが大きいと思いますか。

質問者：匿名希望
質問日時：2009-01-16 10:27:39
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回答

やはり常識だったら１が大きいと思います。
0.999・・・、9が無限に続くならほぼ１だと思いますが・・・・・

回答者：匿名希望 (質問から7日後)
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「１」の方が大きく感じます。

ただ純度の話をする場合０．９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９％といわれる方が信頼感はありますね。

回答者：匿名 (質問から7日後)
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１のほうがかならずおおきいですよ

回答者：おおた (質問から7日後)
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無知な凡人には、１が大きいと思います。

どこかの桁で四捨五入して、イコール？
0.999・・・の方が桁数が多いので、0.999・・・が大きい？

回答者：わかりません (質問から7日後)
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「思う」「思わない」「感じる」以前の問題として、
数学的に1の方が大きいという揺るぎない事実（真実）を知ってしまっているので、
気分的に云々よりも「1の方が明らかに大きい」と思ってしまいます。

回答者：マウスの電池切れた (質問から7日後)
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もちろん１です。
小数点がつくよりは整数の方が大きいです。

回答者：ねん (質問から7日後)
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当然いですね。。。。。

回答者：匿名 (質問から6日後)
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やっぱり１です。

９が多いとそっちに目がいきそうになりますが、やっぱり１の方が大きいので(+_+)

回答者：匿名希望 (質問から6日後)
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１です。
いくら数字が並んでいても「１」にはかないませんｗ

回答者：匿名希望 (質問から6日後)
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１のほうが　大きい数字ですね。

回答者：ブラックマジシャン (質問から3日後)
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１のほうが大きいと思います。

回答者：匿名希望 (質問から3日後)
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誤差で１の方が大きいです。

回答者：匿名希望 (質問から2日後)
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数学では「１」ですね

回答者：英語 (質問から1日後)
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どう考えても1ですね。

回答者：ｓｏｏｄａ (質問から1日後)
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単純に１だと思いますが。

回答者：匿名希望 (質問から1日後)
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１が大きいと思います。

回答者：匿名希望 (質問から24時間後)
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「1」です。
「0.999・・・9」は小数点以下を切り捨てると「0」ですからね。

回答者：ふぁるこん (質問から17時間後)
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同じ、と言える比較だと思います。

回答者：匿名希望 (質問から14時間後)
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「１」の方が大きいと思います。

回答者：匿名希望 (質問から12時間後)
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同じ大きさとしか思えませんけど。

回答者：匿名 (質問から12時間後)
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１のほうが確実に大きいと思います。

回答者：匿名希望 (質問から11時間後)
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１だと思います。単純に。

回答者：匿名希望 (質問から11時間後)
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普通に考えれば、、、、
１の方が大きい。
数学的にだと、同一って事です。

回答者：とむ (質問から11時間後)
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参考になりました。回答ありがとうございました。

x→0（ｘを0に限りなく近づける)とき0.999・・・はlim(1-x) （ただしx→0)と表現できます。

今、f(x)＝1-xとすると
任意に与えられたε>0に対して　δ>0を適当に取ると、0< |x| ≦δとなるどんなｘをとっても | f(x) －1| <εが成立するので、0.999は1となります。

∵上の式においてεをどんなに小さくしても、ある数値であるδより小さなｘを代入すると | f(x) －1| <ε i.e. |(1-x)-1|＝|-x|＜εが成立するようなｘが必ず存在します。
このようなときは、f(x)は1になると定義されています。したがって、0.999と1は等しくなります。
ε-δ論法を見よう見まねで書いてみましたが、どうでしょうか。

===補足===
この場合のδはεと同じ値で成立するように思いますが、どうでしょうか。念のため。

回答者：みっふぃ (質問から10時間後)
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どうみても1でしょう。

回答者：鏡 (質問から7時間後)
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ある、具体的な数としての「0.999...」と1の差は、限りなく0に近いですが、
絶対に0ではありません。
なので1の方が大きいです。

ただ、「0.999...」という数のうしろに「9」をくっつけた数、は、
絶対に1より小さいし、かつ、その数と1の差は、
たしかに、小さい（その分1に近づいている）わけで、
この作業を無限に続けてゆけば限りなく1に近づいてゆくんだよ
という「0.999...という数の行き着く先はきっと1だよ」という状況（その数の値ではなくて、そういう作業をしてゆくことで落ち着く先）
をさして、「0.999....」は1に「収束する」と呼んでいます。

#以上、「0.9」,「0.99」...という数列が1に収束するという説明でした。
#なかには、ある値に落ち着かない＝無限に値が大きくなる（発散する）数列
#もあったりするので、どんな数列も「収束する」わけではないです。

どういうことかというと、
数の値は1より小さい、でも数列（の値）は1に収束するわけです。
これは厳密に区別した方がいいです。

回答者：？ (質問から7時間後)
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もちろん1です。小学校で習います。

回答者：るる (質問から6時間後)
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純粋に数学的な大きさでは、1です。
桁数や印刷した際のインク代の大きさでは、0.999・・・に軍配を上げます。

回答者：匿名希望 (質問から6時間後)
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参考になりました。回答ありがとうございました。

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数学の上では等しいです。

１÷３×３＝１ですよね。

でも１÷３は分数で言えば３分の１です。３分の１は小数では０．３３３３３３…になります。
３分の１を３倍すると１になります。つまり０．３３３３３３…を３倍すると０．９９９９９…になりますが、これも１に等しいということになるのです。

わかりにくい説明で申し訳ありません。

回答者：匿名希望 (質問から5時間後)
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「1」だと思いますよ。

回答者：匿名 (質問から5時間後)
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「１」です。
どれだけ９が続いても、１未満には変わらないので「１」が大きいと思います。

回答者：匿名希望 (質問から5時間後)
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１です。
限りなく等しいとはいえ、ほんの僅かでも大きいのは１です。

回答者：氷点下 (質問から5時間後)
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証明は省きますが、数学的には等しいと言えます。

とは言ってもどっちが大きいと思うかと言われれば「1の方が大きいと思う」と答えてしまいます。
やっぱり数学的に等しいとは言っても0.999…と1とでは　1-0.999…　はプラスの数で、
0.999…-1　はマイナスの数という感じがします。

だから、本当は等しいのかもしれないけれど、1の方が大きいと思います。

回答者：っゃゅょ (質問から4時間後)
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９がどんなに続いても１のほうが大きいと思います。

回答者：匿名希望 (質問から4時間後)
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１未満＜１でしかありませんね。小学校では、そう教えます。

回答者：非常勤講師 (質問から4時間後)
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単純に「1」と思ったのですが、、、、
他の方の意見を見て、勉強になりました。

回答者：匿名 (質問から4時間後)
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小学校か中学校の時に０．９９９９９９・・・と1はイコールであるという証明の問題があったような気がします。証明の仕方は忘れました。
その時に0.0000・・・1だけ1の方が大きいはずなのになんで？？？と思った記憶だけがあります。

回答者：けんちくこ (質問から2時間後)
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中学の時に先生に聞きました。
数学的に同じ数値を示します。

0.999・・・＝ｘ　とします。
９ｘ＝１０ｘ－ｘの式は成立しますよね？
つまり　0.999・・・×１０＝9.999・・・ですので
右項は9.999・・・（１０ｘ）-0.999・・・（ｘ）=9
つまり　９ｘ＝９
両方を９で割ると　ｘ＝１

と証明出来ます。

===補足===
小数点はこのように誤差が出てしまうため
完全ではありません。そのため高校以上の
数学では分数のままで使うのです。
また円周率も３．１４、、、や３ではなくπを使います。
なんども計算する場合、小数点の数字では
正しく数値が出ないためです。

回答者：お助けマン？ (質問から2時間後)
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以前、計算の矛盾をしたことがあります。

１÷３＝０．３３３３３３３・・・・・・・・・・・・・・・・
となり、これに３をかけると

１÷３×３＝０．９９９９９９９９・・・・・・・・・・・・
になりました。

でも、分数で計算すると
1/3x3=1ですよね。

ということで、上記の結果から
１と、０．９９９９のように９が無限に続く数値は
同じと考えます。

回答者：計算の矛盾 (質問から2時間後)
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回答

１のほうが大きいと思います。

ちょっとだけ大きいです。

回答者：匿名希望 (質問から2時間後)
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1です。
0.となった時点で。

回答者：匿名希望 (質問から2時間後)
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0.0・・・(無限に続く)・・・1 足らない分 1 が大きいと思います。

回答者：匿名希望 (質問から2時間後)
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回答

1の方が大きいと思います。

回答者：匿名希望 (質問から2時間後)
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無学な私が考えても１ですね。

回答者：何茶って (質問から2時間後)
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0.999999…と１なら１の方が大きいのではないでしょうか？
数学苦手なのであまり難しいことはわからないのですが・・・。

回答者：匿名希望 (質問から2時間後)
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回答

1のほうが大きいと思います。
実際は同じだと思いますが。

回答者：1 (質問から58分後)
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1÷3=0.333333・・・・
で、1÷3×3=0.999999・・・・=1
ですね。
変ですが、同じになります。

他にも、1÷9×9や1÷7×7でも同じです。桁数が有限な電卓などでしたら0.999999になりますが、関数電卓などではちゃんと1になります。

もし、9の数が「無限に続くくらいの」有限でしたら1のほうが大きくなります。しかし、9が「無限に続く」のでしたら同じになります。

ただ、無限に続く9というのが表記できません。無限なんですから、地球上のすべての鉛筆で9を書いても足りないのです。ですから、直感的に1になりえないと思ってしまいます。
0.99999・・・をあえて書くなら「３分の１の３倍(９分の１の９倍)」です。要は「１」です。
決して、９を無限に書くのが面倒だから１にしてしまえというわけではありません。